数组范围查询以计算具有更新的斐波那契数的数量

简介

本文介绍如何使用数组的范围查询来计算具有更新的斐波那契数的数量。斐波那契数列是一个无限的数列，其定义如下：

$F_0 = 0, F_1 = 1$

$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}, n \geq 2$

本文的讨论基于具有更新操作的斐波那契数列，即可以将某些项的值更改为另一个值。我们将使用线段树数据结构来处理数组范围查询。

线段树

线段树是一种二叉树数据结构，用于快速处理数组范围查询和更新。线段树的每个节点表示数组的一个子范围，每个节点持有子范围内的信息（如最小值、最大值、总和等）。线段树的根节点表示整个数组范围，每个叶子节点表示单个元素。

下面是线段树的一个示例。我们将使用该示例来演示如何计算斐波那契数列的数量。

          [0, 7]
       /          \
    [0, 3]        [4, 7]
    /     \      /      \
 [0, 1]  [2, 3] [4, 5]  [6, 7]
  /   \    /  \   |  |    |   |
[0] [1]  [2] [3] [4] [5]  [6] [7]

数组

我们将创建一个大小为 $N$ 的数组 $A$，其中 $A[i]$ 表示第 $i$ 个斐波那契数。为了使数组支持更新操作，我们还将创建一个大小为 $N$ 的标记数组 $B$，其中 $B[i]$ 表示对 $A[i]$ 的操作。如果 $B[i] = 0$，则表示没有对 $A[i]$ 进行操作；如果 $B[i] \neq 0$，则表示对 $A[i]$ 进行了更新操作，新值为 $B[i]$。

例如，如果 $A = [0, 1, 1, 2, 3]$，$B = [0, 0, 0, 0, 0]$，则 $A[0] = 0$，$A[1] = 1$，$A[2] = 1$，$A[3] = 2$，$A[4] = 3$，且没有对 $A$ 进行更新操作。

计算数量

要计算具有更新的斐波那契数的数量，我们需要先计算斐波那契数列的前 $N$ 项。可以使用以下代码：

def fib(n):
    f = [0, 1]
    for i in range(2, n):
        f.append(f[i-1] + f[i-2])
    return f

现在，我们可以将 $A$ 中的斐波那契数与计算出的斐波那契数列进行比较，找出需要更新的数。

f = fib(N)
count = 0
for i in range(N):
    if B[i] != 0 and A[i] != f[i]:
        count += 1
return count

在上面的代码中，我们遍历数组 $A$ 和 $B$，如果 $B[i] \neq 0$ 并且 $A[i]$ 与斐波那契数列中的 $i$ 项不相等，则增加计数器。

线段树实现

要使用线段树来计算数量，我们需要实现以下操作：

• 初始化线段树。我们将使用下面的代码来初始化线段树和标记数组。

def init_tree(arr, l, r):
    if l == r:
        return [arr[l]], [0]
    m = (l + r) // 2
    left = init_tree(arr, l, m)
    right = init_tree(arr, m+1, r)
    return [left[0] + right[0]], [0] * len(left[0] + right[0])

该函数使用递归方式实现线段树的初始化。如果节点表示单个元素，则返回该元素值和标记值的列表。否则，将左子树和右子树的值相加，并返回它们的和以及相同长度的标记值列表（初始值均为 $0$）。

• 查询线段树。我们可以使用以下代码来查询线段树的值。

def query_tree(tree, tags, l, r, ql, qr):
    if ql <= l and r <= qr:
        return tree[0]
    if qr < l or r < ql:
        return [0] * (r - l + 1)
    m = (l + r) // 2
    left = query_tree(tree[:len(tree)//2], tags[:len(tree)//2], l, m, ql, qr)
    right = query_tree(tree[len(tree)//2:], tags[len(tree)//2:], m+1, r, ql, qr)
    return [left[i] + right[i] for i in range(len(left))]

该函数使用递归方式查询线段树。如果节点所表示的范围完全包含查询范围，则返回节点的值。如果节点所表示的范围完全不包含查询范围，则返回全 $0$ 列表（表示没有任何斐波那契数在该范围内）。否则，递归地查询左子树和右子树，并相加它们的值。

• 更新线段树。我们可以使用以下代码来更新线段树和标记数组。

def update_tree(tree, tags, l, r, i, val):
    if l == r:
        tree[0][i-l] = val
        tags[i-l] = val
    else:
        m = (l + r) // 2
        if i <= m:
            update_tree(tree[:len(tree)//2], tags[:len(tree)//2], l, m, i, val)
        else:
            update_tree(tree[len(tree)//2:], tags[len(tree)//2:], m+1, r, i, val)
        tree[0][i-l] = tree[0][i-l] - tags[i-l] + val
        tags[i-l] = val

该函数使用递归方式更新线段树。如果节点表示单个元素，则更新该元素的值和标记的值。否则，递归地更新左子树和右子树，然后更新节点的值和标记的值。

• 计算数量。最后，我们可以使用以下代码调用前面定义的函数来计算具有更新的斐波那契数的数量。

tree, tags = init_tree(A, 0, N-1)
f = fib(N)
count = 0
for i in range(N):
    if B[i] != 0 and query_tree(tree, tags, 0, N-1, i, i) != f[i]:
        update_tree(tree, tags, 0, N-1, i, B[i])
        count += 1
return count

在上面的代码中，我们首先初始化线段树和标记数组。然后，遍历数组 $A$ 和 $B$，如果 $B[i] \neq 0$ 并且 $A[i]$ 与斐波那契数列中的 $i$ 项不相等，则更新线段树中 $i$ 位置的值，并增加计数器。