表示有符号整数的不同方式

有符号整数是带有正“+”或负号“-”的整数。由于计算机只理解二进制，因此有必要以二进制形式表示这些有符号整数。

在二进制中，有符号整数可以用三种方式表示：

1. 签名位。
2. 1 的补码。
3. 2 的补码。

让我们看看为什么 2 的补码被认为是最好的方法。

有符号位表示

在有符号整数表示方法中，遵循以下规则：

1. MSB（最高有效位）代表整数的符号。
2. 幅度由 MSB 以外的其他位表示，即 (n-1) 位，其中 n 是编号。位。
3. 如果数字为正，则 MSB 为 0，否则为 1。
4. n 位数的有符号整数表示的范围为 –(2^{n-1}-1) 到 (2)^{n-1}-1。

例子：

Let n = 4

Range:
 –(2^{4-1}-1)    to 2^{4-1}-1    
= -(2^{3}-1)    to 2^{3}-1  
= -(7)   to+7

For 4 bit representation, minimum value=-7 and maximum value=+7

有符号位表示：

Positive Numbers
Sign	Magnitude			Decimal Representation
0	0	0	0	+0
0	0	0	1	+1
0	0	1	0	+2
0	0	1	1	+3
0	1	0	0	+4
0	1	0	1	+5
0	1	1	0	+6
0	1	1	1	+7
Negative Numbers
Sign	Magnitude			Decimal Representation
1	0	0	0	-0
1	0	0	1	-1
1	0	1	0	-2
1	0	1	1	-3
1	1	0	0	-4
1	1	0	1	-5
1	1	1	0	-6
1	1	1	1	-7

缺点：

1. 对于 0，有两种表示形式：-0 和 +0，因为 0 既不是 –ve 也不是 +ve。
2. 在表示的 2^n 位中，我们只能使用 2^{n-1} 位。
3. 数字不是循环顺序的，即在最大数字之后（例如，+7）下一个数字不是最小数字（例如，+0）。
4.对于负数签名扩展不起作用。

例子：
+5 签名扩展

-5 的签名扩展

5. 正如我们在上面看到的，对于 +ve 表示，如果 4 位扩展到 5 位，则只需在 MSB 中附加 0。
6. 但是如果在-ve 表示中做同样的事情，我们将不会得到相同的数字。即10101≠11101。

1 的有符号整数的补码表示

在 1 的补码表示中，使用以下规则：

1. 对于 +ve 数，表示规则与有符号整数表示相同。
2. 对于 -ve 数字，我们可以采用以下两种方法中的任何一种：

• 将 +ve 数写成二进制并取 1 的补码。

1’s complement of 0 = 1 and 1’s complement of 1 = 0 

Example:
(-5) in 1’s complement: 
+5 = 0101
-5 = 1010                 

• 为 –X 写出 2^n-1-X 的无符号表示。

Example:
–X = -5      for n=4
2^4-1-5=10 ->1010(Unsigned)

3. n 位数的 1 的补码整数表示的范围为 –(2^{n-1}-1) 到 2^{n-1}-1。

1 的补码表示：

Positive Numbers
Sign	Magnitude	Number
0	0   0   0	+0
0	0   0   1	+1
0	0   1   0	+2
0	0   1   1	+3
0	1   0   0	+4
0	1   0   1	+5
0	1   1   0	+6
0	1   1   1	+7
Negative Numbers
Sign	Magnitude	Number
1	0   0   0	-7
1	0   0   1	-6
1	0   1   0	-5
1	0   1   1	-4
1	1   0   0	-3
1	1   0   1	-2
1	1   1   0	-1
1	1   1   1	-0

缺点：

1. 对于 0，有两种表示形式：-0 和 +0，这不应该是这种情况，因为 0 既不是 –ve 也不是 +ve。
2. 在表示的 2^n 位中，我们只能使用 2^{n-1} 位。

有符号位表示的优点：

1. 数字按循环顺序排列，即在最大数字之后（例如，+7），下一个数字是最小数字（例如，-7）。
2.对于负数签名的扩展作品。

示例： +5 的签名扩展

-5 的签名扩展

3. 如上所示，对于 +ve 和 -ve 表示，如果将 4 位扩展到 5 位，则只需在 MSB 中分别附加 0/1。

2 的补码表示

在 2 的补码表示中，使用了以下规则：

1.对于+ve数，表示规则与有符号整数表示相同。
2. 对于 -ve 数字，我们可以用两种不同的方式来表示数字。

• 以 n 位表示形式为 –X 写出 2^nX 的无符号表示。

Example:
(-5) in 4-bit representation
 2^4-5=11   -→1011(unsigned)

• 写出 +X 的表示形式并取 2 的补码。

To take 2’s complement simply take 1’s complement and add 1 to it.    

Example:
(-5) in 2’s complement
(+5) = 0101 
1’s complement of (+5) = 1010
 Add 1 in 1010:  1010+1 = 1011
Therefore (-5) = 1011

3. n 位的表示范围为 –(2^{n-1} ) 到 (2)^{(n-1)-1}。

2 的补码表示（4 位）

优点：

1. 0 的表示没有歧义。
2. 数字是循环顺序的，即+7 之后是-8。
3. 签名扩展有效。
4. 可以使用 2 的补码表示的数字范围非常大。

由于有符号整数的 2 的补码表示的所有上述优点，二进制数使用 2 的补码方法而不是有符号位和 1 的补码表示。