应力、应变和弹性势能

弹性，这个术语总是让人想起橡皮筋等物体。但是，如果出现问题，哪个更有弹性 - 橡胶或铁片？答案将是一块铁片。为什么？答案在于弹性的定义，弹性被称为物体在力施加到物体上使其变形后恢复其原始形状的能力。让我们更详细地了解弹性，

应力和应变

当力施加在本质上具有弹性的物体上时，它们会产生暂时的变形，这取决于材料的性质。这种变形通常是不可见的，但它会产生一种恢复力，使身体恢复到自然状态。恢复力的大小等于施加在身体上的力。压力 已定义为单位面积的恢复力。

令 F 为施加在身体上的力的大小，A 为面积，

压力 = $\frac{F}{A}$

压力可以分为三类。考虑一个示例来了解力如何作用于这些应力：

1. 拉伸/压缩应力：在这种应力下，力垂直于圆柱体的横截面。
2. 剪切应力：力平行于圆柱体的横截面积施加。
3. 液压应力：作用于整个身体的力

应变是尺寸变化与原始尺寸的比值。例如，在前面的圆柱体案例中，不同种类的应力会导致圆柱体尺寸发生不同的变化。在压缩或拉伸应力的情况下，圆柱体的长度会发生变化。

 Let $\Delta L$ be the change in length of the cylinder and L be the original length. This is called longitudinal strain. It is given by, 

$\text{Longitudinal Strain }= \frac{\Delta L}{L}$

In the case of shearing stress,

$\text{Shearing Strain }= \frac{x}{L} = tan(\theta)$

Here,$\theta$ is the angular displacement of the cylinder from its mean position. 

When hydraulic stress is applied, the body changes its volume. In this case, volumetric strain is used. 

$\text{Volumetric Strain }= \frac{\Delta V}{V}$

胡克定律

胡克定律基于经验证据，几乎适用于所有材料。它有助于以应力-应变曲线的形式建立应力和应变之间的关系。这些曲线因材料而异，非常有助于大致了解材料在不同负载条件下的性能。但是，该定律仅适用于小位移。根据胡克定律，对于微小的变形，体内产生的应力和应变是成正比的。”

Stress ∝ Strain 

⇒ Stress = k x Strain 

Here, k is the proportionality constant and is called the modulus of elasticity.

弹性势能

弹性势能是由于物体变形而储存在物体中的能量。当对物体施加力以使其形状和大小变形时，它确实会抵抗恢复力。这样，对物体所做的功就以物体的势能形式存储起来。这种能量称为弹性势能。很多时候，物体是专门设计用来储存弹性势能的——

1. 一个理想的春天
2. 一个弹力球，在撞击地面时会压缩。
3. 弓箭手拉长的弓。

储存在弹簧中的弹性势能

当弹簧被力 F 压缩时，长度会发生变化$\Delta x$ .恢复力开始起作用，试图使身体回到平衡位置。这种力遵循胡克定律。该力对长度变化所做的功$\Delta x$可以通过积分方法或胡克定律曲线下面积来计算。

储存在弹簧中的弹性势能 = 力所做的功

= $\frac{1}{2}k(\Delta x)^2$

储存在其他塑料材料中的弹性势能

弹簧是旨在利用材料的弹性特性的对象的一个示例。在任何材料的一般情况下，由于压缩或伸长而存储的能量是通过应力-应变曲线计算的。该曲线下方的面积为我们提供了由于恢复力所做的功而存储在材料中的弹性势能。

对于符合胡克定律的三维材料，

弹性势能 = $\frac{1}{2}.\text{ Stress}.\text{ Strain}$

示例问题

问题 1：当施加水力应力时，一个边长为 2 m 的立方体尺寸缩小到 0.5 m 的长度。求体积应变。

回答：

Volumetric strain is given by, 

$\text{Volumetric Strain }= \frac{\Delta V}{V}$

The volume of a cube is given by A

V = a³

Initial radius: a_i = 2 m 

Final radius: a_f = 0.5m 

Change in Volume = $a_f^3 - a_i^3$

                               =$2^3 - (0.5)^3$

                               = 7.875

Original Volume = a³

                            = 1

Volumetric Strain = $\frac{\text{Change in Volume}}{\text{Original Volume}}$

                              = $\frac{a_f^3 - a_i^3}{a_i^3}$

                              = $\frac{7.875}{1}$

                              =7.875

问题 2：当施加液压应力时，半径为 2 m 的球体尺寸缩小到半径为 1 m。求体积应变。

回答：

Volumetric strain is given by, 

$\text{Volumetric Strain }= \frac{\Delta V}{V}$

The volume of a sphere is given by A

V = $\frac{4}{3}\pi r^3$

Initial radius: r_i = 2 m 

Final radius: r_f = 1 m 

Change in Volume = $\frac{4}{3}\pi (a_f^3 - a_i^3)$

                               =$\frac{4}{3} \pi (2^3 - 1^3)$

                               = $\frac{4}{3} \pi.7$

Original Volume = $\frac{4}{3} \pi r_f^3$

                            = $\frac{4}{3} \pi$

Volumetric Strain = $\frac{\text{Change in Volume}}{\text{Original Volume}}$

                              = $\frac{\frac{4}{3}\pi (a_f^3 - a_i^3)}{\frac{4}{3} \pi a_i^3}$

                              = $\frac{7}{1}$

                              =7

问题3：一个边长为1.5m的立方体在施加100N的压缩力时，其尺寸收缩到长度为0.5m。求压应力。

回答：

Compressive stress is given by, 

Stress = $\frac{F}{A}$

In this case, F = 100N and A = side^2. 

The side is given as 1.5 m 

A = side^2. 

⇒A = 1.5²

⇒A = 2.25

Stress = $\frac{F}{A}$

⇒ Stress = $\frac{100}{2.25}$

⇒ Stress = 44.44 N/m²

问题4：一个边长为3m的立方体，在施加500N的压缩力时，尺寸收缩到1m长。求压应力。

回答：

Compressive stress is given by, 

Stress = $\frac{F}{A}$

In this case, F = 500N and A = side^2. 

The side is given as 32m 

A = side^2. 

⇒A = 3²

⇒A = 9

Stress = $\frac{F}{A}$

⇒ Stress = $\frac{500}{9}$

⇒ Stress =55.5 N/m²

问题 5：k = 50N/m 的弹簧从其自然长度 1 m 压缩到 0.5 m。求弹簧中储存的弹性势能。

回答：

The energy stored in the spring is given by, 

E.P.E = $\frac{1}{2}k(\Delta x)^2$

Here, k = 50N/m and $\Delta x = 0.5$

Plugging the values into the given equation, 

E.P.E = $\frac{1}{2}k(\Delta x)^2$

⇒ E.P.E = $\frac{1}{2}(50)(0.5)^2$

⇒ E.P.E = (25)(0.25)

⇒ E.P.E = 6.25J

问题 6：k = 100N/m 的弹簧从其自然长度 2m 压缩到 1m。求弹簧中储存的弹性势能。

回答：

The energy stored in the spring is given by, 

E.P.E = $\frac{1}{2}k(\Delta x)^2$

Here, k = 100N/m and $\Delta x = 1$

Plugging the values into the given equation, 

E.P.E = $\frac{1}{2}k(\Delta x)^2$

⇒ E.P.E = $\frac{1}{2}(100)(1)^2$

⇒ E.P.E = 50J

问题 7：k = 50N/m 的弹簧从其自然长度 1 m 压缩到 0.5 m。求弹簧中储存的弹性势能。

回答：

The energy stored in the spring is given by, 

E.P.E = $\frac{1}{2}k(\Delta x)^2$

Here, k = 50N/m and $\Delta x = 0.5$

Plugging the values into the given equation, 

E.P.E = $\frac{1}{2}k(\Delta x)^2$

⇒ E.P.E = $\frac{1}{2}(50)(0.5)^2$

⇒ E.P.E = (25)(0.25)

⇒ E.P.E = 6.25J

问题 8：将 k = 100N/m 的弹簧从其自然长度压缩到 0.5m。若弹簧中储存的弹性势能为10J，求弹簧的自然长度。

回答：

The energy stored in the spring is given by, 

E.P.E = $\frac{1}{2}k(\Delta x)^2 \\ = \frac{1}{2}k(x_f^2 - x_i^2)$

Here, k = 50N/m, x_f = 0.5m and x_i = ?. 

Plugging the values into the given equation, 

E.P.E =$\frac{1}{2}k(x_f^2 - x_i^2)$

⇒ 10 =$\frac{1}{2}100(0.5^2 - x_i^2)$

⇒ 20 = 100(0.5² – x_i²)

⇒ 0.2 = 0.25 –  x_i²

⇒x_i²= 0.25 – 0.2

⇒x_i²= 0.05

⇒x_i= √0.05

⇒x_i= 0.223