均匀磁场中的偶极子

磁铁产生的磁力线由铁屑的图案表示。通过查看这些磁场线，我们可以粗略估计磁场 B。然而，我们经常被要求精确测量磁场 B 的大小。我们通过在磁场中放置一个具有已知磁矩 m 和惯性矩的小罗盘指针并使其振荡来做到这一点。让我们仔细看看这个概念！

磁偶极子通常是具有原子或亚原子尺寸的微小磁体，类似于围绕环路的电荷流动。自旋带正电的原子核、绕轴旋转的电子以及绕原子核运动的电子都是磁偶极子。

这些影响可能会相互抵消，导致某种形式的原子不是磁偶极子。如果它们没有完全抵消，原子就是一个永恒的磁偶极子。例如，铁原子是偶极子。当数以百万计的铁原子自发地锁定在同一排列中，形成一个铁磁畴时，就形成了一个磁偶极子。宏观磁偶极子包括磁罗盘针和磁棒。

考虑一个长度为 2ļ 且磁极强度为 m 的磁棒 (NS)，通过创建角度 θ，在表示为 B 的均匀感应磁场中。第一个力 (m × B) 沿磁场方向作用在北极上，而第二个力 (m × B) 沿与磁场方向相反的方向作用在南极上。这两种新势力既相同又相反。结果，创建了一对。

磁偶极子上的均匀场转矩

当磁棒（可以认为是磁偶极子）保持在均匀磁场中时，北极检测到的力等于磁场方向上的磁场强度和磁极强度的乘积。

尽管如此，南极还是检测到了一个相等但方向相反的力。结果，扭矩被施加到磁偶极子上，使其旋转。因为对是扭矩用τ表示。

τ = Force × Distance

∴ τ = F × NA

We have, F = m × B

So, =  mB × 2ļ sin θ = MB sin θ

In vector Form,

$\tau=\vec M\times\vec B$

Perpendicular to the plane in the direction of τ.  

If θ = 90^o and B = 1.

Then, τ = MB sin θ = M

As a result, the magnetic moment induction equals the torque required to hold the magnet at 90 degrees with a magnetic field.

静电模拟 -将电场中的电偶极子方程与磁场中的电偶极子方程进行比较。我们得出结论，远距离条形磁铁产生的磁场相当于电场中的电偶极子。同样，如下所示，关系可能具有状态。

E → B, p → m, 1/4πε ₀ → μ ₀ /4π

如果 r 的值，即一点与特定磁体之间的距离，与 I 提供的磁体尺寸相比较大，或者 r >> l，则条形磁体产生的赤道场可以是写成，

B _E = -μ ₀ m/4πr ³

类似地，在相同条件下，条形磁铁的轴向场可以表示为：

B _A = -μ ₀ 2m/4πr ³

均匀磁场中的偶极子

磁矩是对磁铁的磁场强度和方向以及任何其他物体的磁场的测量。磁矩更准确地称为磁偶极矩，它是可以用磁偶极子表示的磁矩的分量。在磁偶极子中，两个磁北极相隔一小段距离。

A magnetic dipole is made up of two poles that are diametrically opposed and separated by a small distance.

条形磁铁、指南针和其他物品是磁偶极子。电流回路的行为将与磁偶极子的行为进行比较。因为电子围绕原子核旋转，所以磁性物质的原子表现得像偶极子。磁偶极子（或磁铁）的北极和南极始终具有相同的强度和相反的类型。此外，这种类型的两个磁极总是成对出现，不能分开。条形磁铁的磁性长度取决于其两极之间的距离。它是一个从磁铁的 S 极到 N 极的矢量，用数字 2ļ 表示。

磁偶极矩 = 任一极的强度 × 磁长

M = m(2l)

如图所示，磁偶极矩是从磁铁的南极到北极的矢量。

M 的单位是焦耳/特斯拉或安培米² 。 SI 中的极点强度单位是 Am。

条形磁铁作为等效螺线管

A current loop is known to function in a magnetic dipole. All magnetic phenomena can be explained in terms of circulating currents, according to Ampere’s theory.

条形磁铁和通电螺线管的磁场线在图中非常相似。因此，可以将条形磁铁（如螺线管）视为大量循环电流。就像可以切断螺线管一样，可以切断条形磁铁。提供了两个较小的螺线管，每个螺线管具有较弱的磁性。在连续循环中，磁场线从一个螺线管的表面发出并进入第二个螺线管的表面。当小罗盘指针靠近条形磁铁和通电螺线管移动时，两种情况下的指针偏转是相似的。

为了演示载流有限螺线管如何等效于条形磁铁，请计算载流有限螺线管的轴向场。

In figure, suppose: a = the solenoid’s radius, 2l = Solenoid length with center O, n = amount of solenoid turns per unit length, i = the current strength that went through the solenoid

The magnetic field must be determined at any point P on the solenoid’s axis, where OP = r. Consider a tiny solenoid with a thickness of dx and a distance from O of x.

n dx = the element’s number of turns.

The magnitude of the magnetic field at P due to this current element can be calculated using Equation.

dB = (μ₀ia²(n dx)) / (2[(r-x)²+a²]^3/2)

If P is located at a large distances from O, i.e., r>>a and r>>x, then [(r-x)²+a²]^3/2 ≈ r³

dB = (μ₀ia²ndx) / (2r³)

As range of variation of x if from -l to +l. As a result, the magnitude of the entire magnitude field at P as a result of the current-carrying solenoid is

$B=\dfrac{\mu_0 n i a^2}{2r^3}\int_{+l}^{-l}dx$

∴ B =  μ₀ni/2 × a²/r³ (2l)

∴ B = μ₀/4π × 2n(2l)i π a²/r³

If M is the magnetic moment of the solenoid, then

M = Total number of turns × current × area of cross section 

M = n(2l) × i × (π a²)

∴ B = (μ/4π)(2M/r³) 

这就是微型条形磁铁轴线上的磁场的表达方式。因此，载流有限螺线管的轴向场等效于条形磁铁的轴向场。因此，载流有限螺线管在功能上等同于条形磁铁。

磁场中磁偶极子的势能

磁偶极子在磁场中的势能是偶极子由于其在磁场中的独特位置而具有的能量。当力矩为 M 的磁偶极子与均匀磁场 B 的方向成 θ 角时，作用在其上的转矩的大小等于

τ = MBsinθ

由于扭矩，偶极子在场的方向上对齐。需要做功才能使偶极子在扭矩的作用下旋转。该功被磁偶极子存储为偶极子势能。

现在需要做少量的功才能使偶极子相对于恢复扭矩以小角度 dθ 旋转。

dW = τdθ = MBsinθ dθ

将偶极子从 θ ₁ = θ 旋转到 θ = θ ₂所做的总功为

$W=\int_{\theta_1}^{\theta_2}M B \sin \theta d \theta$

∴ W = -MB[cosθ ₂ – cosθ ₁ ]

∴偶极子的势能是

U = W = -MB[cosθ ₂ – cosθ ₁ ]

如果 θ ₁ = 90 ^o且 θ ₂ = θ，则

U = W = -MB[cosθ – cos90 ^o ]

∴ U = W = -MBcosθ

∴ W = -MBcosθ

在矢量符号中，

U = ^{-M'B '}

Particular Cases

• When θ = 90^o

We have,

U =  -MBcosθ

∴ U = -MBcos90^o

∴ U = 0

i.e. a dipole’s potential energy is zero when it is perpendicular to the magnetic field.

As a result, we use it to determine the potential energy of a dipole at any angle with B.

U =  -MB(cos θ₂ – cos θ₁)

And take θ₁ = 90^o and θ₂ = θ.

Therefore,

U = -MB(cos θ – cos 90^o)

∴ U = -MBcosθ

• When θ = 0^o

we have,

U =  -MBcosθ

∴ U = -MBcos0^o

∴ U = -MB

Which is minimum.

This is the point of stable equilibrium where the magnetic dipole is oriented along the magnetic field and has the minimum P.E.

• When θ = 180^o

we have,

U =  -MBcosθ

∴ U = -MBcos180^o

∴ U = MB

Which is maximum.

This is the unstable equilibrium point.

示例问题

问题 1：在外部磁场 B = (0.2 i + 0.2 j – 0.3 k) 中，一个面积为 7 m ²的平面线圈承载逆时针电流 2 A 的位置使得平面的法线沿线(3 i – 5 j +4 k)。找出这个案例的势能。

解决方案：

Given : A = 7 m, n = 1/√50(3 i – 5 j +4 k) ≅ 1/7(3 i – 5 j +4 k)

A = (3 i – 5 j +4 k)m²

B = (0.2 i + 0.2 j – 0.3 k)T, I = 2A

Since, 

M = IA

∴ M = (6 i – 10 j + 8 k)Am²

∴ M ≅ 14Am²

U = MB

∴ U = -[1.2 – 2 – 2.4]

∴ U = 3.2 J

问题2：原子中电子围绕原子核的轨道半径为0.53 Ă。如果电子的旋转频率是 6.8 × 10 ⁹ MHz，求可比较的磁矩。

解决方案”

Given : e = 1.6 × 10^-19, f = 6.8 × 10⁹, r = 0.53 × 10^-10

Solution :

M = NIA = IA = Qfa

∴ M = 1.6 × 10^-19 × 6.8 × 10⁹ × 10⁶ × π × 0.53 × 10^-10

∴ M = 18.10 × 10^-14 Am²

问题 3：写出均匀磁场中磁偶极子的磁势能公式。

解决方案：

The formula for the magnetic potential energy of a magnetic dipole in a homogeneous magnetic field

U = -M’B’

where, 

• U = Magnetic Potential energy,
• M = The magnetic dipole’s magnetic moment,
• B = Uniform magnetic field.

问题4：氢原子中的电子以每秒10 ¹⁶转的速度在半径为0.6 Ă的轨道上旋转。与电子轨道运动相关的磁矩为

解决方案：

Given : e = 1.6 × 10^-19, T = 1, r = 0.6 × 10^-10

Since, 

I = q/T = e/T

∴ I = 1.6 × 10^-19 × 10¹⁶ / 1

∴ I = 1.6 × 10^-3

M = IA

∴ M = 1.6 × 10^-3 × πr²

∴ M = 1.6 × 10^-3 × 3.14 × (0.6 × 10^-10)²

∴ M = 1.8086 × 10^-23

问题 5：在外磁场 B 中，磁矩为 M 的圆形电流回路朝向任意方向。确定将环绕垂直于其平面的轴旋转 30 度所需的功。

解决方案：

The work done to rotate the loop by 30 degree about an axis perpendicular to its plane results in no change in the angle formed by the loop’s axis with the direction of the magnetic field, hence the work done to rotate the loop is zero.

W = -MB[cosθ₂ – cosθ₁]

问题 6：带电粒子（电荷 q）以恒定速度 v 在半径为 R 的圆上运动。那么伴随的磁矩是多少？

解决方案：

Because of the movement in a circle, the current in a circular path is provided by

i = q/T

∴ i = qv/2πR

As a result, the magnetic moment of the particle is

μ = iA

∴ μ = qv/2πR × πR²

∴ μ = qvR/2