检查是否可以通过相邻对的增量使圆形阵列的所有元素相等

问题描述

给定一个长度为 n 的整数数组，表示一个圆形阵列，其中 nums[i] 表示相邻元素之间的差值。例如，如果 nums[0] = 2 和 nums[1] = -1，则第一个和最后一个元素之间的差值为 nums[0] + nums[1] = 1。

例如，数组 [1,2,3,4,5] 可以表示为 [1,1,1,1,-4]，其中 nums[0] = 1，nums[1] = 1，nums[2] = 1，nums[3] = 1，nums[4] = -4。

我们定义一个“相邻对”为两个连续元素之间的差值。

请你判断是否存在一种从任何下标开始并遵循这些相邻对的增量，最终可以使所有元素相等的操作序列。

示例

输入：nums = [3,4,5,1,2]

输出：true

解释：可以使用以下操作序列从 nums 开始 [3,4,5,1,2]：

• 从下标 0 开始增加 2 ，使数组变为 [5,4,5,1,2]。
• 从下标 1 开始增加 1 ，使数组变为 [5,5,5,1,2]。
• 从下标 2 开始减少 4 ，使数组变为 [5,5,1,1,2]。
• 从下标 3 开始增加 0 ，使数组变为 [5,5,1,1,2]。
• 从下标 4 开始减少 3 ，使数组变为 [5,5,1,1,5]。 于是，我们成功地使所有元素相等。

解法

首先，我们计算整个数组的总和，如果总和不能被 n 整除，则无法用增量使所有元素相等。

然后，我们计算连续相邻差之间的最大公约数（gcd）并保存到变量 gcd 中。

如果 gcd 为 1，则所有差都是独立的，因此无法用增量使所有元素相等。

否则，我们可以证明可以从任意位置开始进行增量操作，以使所有元素相等。

代码实现

class Solution:
    def check(self, nums: List[int]) -> bool:
        # 计算数组的总和
        total = sum(nums)
        # 如果总和不能被 n 整除，则无法用增量使所有元素相等
        if total % len(nums) != 0:
            return False
        # 计算相邻差之间的最大公约数
        gcd = nums[0]
        for i in range(1, len(nums)):
            gcd = math.gcd(gcd, nums[i])
            if gcd == 1:
                break
        # 如果最大公约数为 1，则无法用增量使所有元素相等
        if gcd == 1:
            return False
        return True

代码中 check() 函数接受一个整数数组 nums 作为参数，并返回一个布尔值，表示是否可以使用相邻对的增量操作使数组中的所有元素相等。

我们首先计算整个数组的总和，如果总和不能被 n 整除，则无法用增量使所有元素相等。

然后，我们计算连续相邻差之间的最大公约数（gcd）并保存到变量 gcd 中。

如果 gcd 为 1，则所有差都是独立的，因此无法用增量使所有元素相等。

否则，我们可以证明可以从任意位置开始进行增量操作，以使所有元素相等。

最后，我们将布尔值返回给调用方。