最小化圆形阵列中相邻元素的最大绝对差

问题描述

给定 $n$ 个整数，将它们排列在一个圆形阵列中，需要最小化相邻元素的最大绝对差。

解决方案

算法1：二分法

可以用二分法来解决这个问题。假设圆形阵列中相邻元素的最大绝对差的上限为 $upper$，则可以通过检查 $upper$ 是否符合要求来不断地缩小搜索的范围。

具体地，对于每个可能的 $upper$ 值，我们可以通过贪心算法来检查是否存在一种排列方式，使得相邻元素的最大绝对差不超过 $upper$。

我们首先将整数从小到大排序，然后从第 $1$ 个位置开始依次往后放置整数。在填写第 $i$ 个位置的整数时，我们只需在 $[i-(n-1), i-1]$ 中选择一个未被选中的整数即可。

具体地，我们可以从最小的未被选中的整数开始扫描区间 $[i-(n-1), i-1]$，找到第一个与当前要填写的整数的绝对差不超过 $upper$ 的整数，然后将其放置到当前位置上。

如果无法找到这样的整数，则说明当前的 $upper$ 值不满足条件。在这种情况下，我们需要将 $upper$ 值增加，然后重新从第 $1$ 个位置开始尝试构建排列。

二分法的时间复杂度为 $O(n\log_2 W)$，其中 $W$ 是整数的范围。

算法2：动态规划

另一种解决方案是使用动态规划。假设 $f(i,j)$ 表示前 $i$ 个数中最后一个数是第 $j$ 个数时，相邻元素的最大绝对差的最小值。

状态转移方程为：

$$ f(i,j) = \min{f(i-1,k) + abs(a[j]-a[k+1]), 0\leq k<i-1} $$

其中 $a$ 是原始数组，$abs(x)$ 表示 $x$ 的绝对值。

最终的答案为 $\min{f(n,j) | 1\leq j\leq n}$。

动态规划的时间复杂度为 $O(n^3)$，空间复杂度也为 $O(n^2)$。

代码实现

算法1：二分法

def check(arr, upper):
    n = len(arr)
    used = [False] * n
    used[0] = True
    last = arr[0]
    for i in range(1, n):
        ok = False
        for j in range(n):
            if not used[j] and abs(arr[j] - last) <= upper:
                used[j] = True
                last = arr[j]
                ok = True
                break
        if not ok:
            return False
    return True

def minimize_max_abs_diff(arr):
    n = len(arr)
    arr.sort()
    left, right = 0, max(arr) - min(arr)
    while left < right:
        mid = (left + right) // 2
        if check(arr, mid):
            right = mid
        else:
            left = mid + 1
    return left

算法2：动态规划

def minimize_max_abs_diff(arr):
    n = len(arr)
    f = [[float('inf')] * n for _ in range(n)]
    for j in range(n):
        f[0][j] = 0
    for i in range(1, n):
        for j in range(i, n):
            for k in range(i-1, j):
                f[i][j] = min(f[i][j], f[i-1][k] + abs(arr[j] - arr[k+1]))
    return min(f[n-1])

总结

本题可以使用二分法或动态规划来解决。二分法的时间复杂度较优，但实现起来稍微复杂一些。动态规划的实现相对简单，但时间复杂度较高。