查找分数中的重复序列

在数学中，一个分数可以表示为有限小数或无限循环小数。有些无限循环小数的部分数字一直重复，这些数字被称为重复序列。例如，1/3可以表示为0.33333...，其中数字3被无限重复称为重复序列。

编写一个函数，用于查找分数的重复序列。函数将分数表示为分数的分子和分母，并返回重复序列。如果分数是有限小数，则返回空字符串。

解决方案

为了找出分数的重复序列，我们可以将其转换为长除法。在长除法中，我们将分子除以分母，并将余数乘以10，以便将小数点向右移动一个位置。我们继续这个过程，直到余数成为零或者余数重复出现。

我们可以利用哈希表来判断余数是否重复出现。具体地，如果余数已经在哈希表中出现过了，则表示已经出现了一个重复序列，并且我们可以找到循环节的起始位置。

最后，我们需要将重复序列从长除法中提取出来。如果重复序列是从小数点后的第k位开始的，则它的长度必须是小于或等于分母k的。我们可以将长除法计算到第n位，并提取长度为k的前缀和后缀。如果前缀和后缀相等，则表示重复序列已经找到了。

下面是JavaScript实现的示例代码。

function findRepeatingDecimal(numerator, denominator) {
  // 计算商和余数
  let quotient = Math.floor(numerator / denominator);
  let remainder = numerator % denominator;
  // 如果分数是有限小数，则直接返回
  if (remainder === 0) return '';
  let decimal = '';
  // 哈希表用于记录余数出现的位置
  let map = new Map();
  // 计算小数部分
  while (remainder !== 0) {
    // 将余数乘以 10
    remainder *= 10;
    // 如果余数已经出现过，则找到循环节
    if (map.has(remainder)) {
      let index = map.get(remainder);
      let prefix = decimal.slice(0, index);
      let suffix = decimal.slice(index);
      if (prefix === suffix) return prefix;
    }
    // 记录余数的位置，并将商加入到小数部分
    map.set(remainder, decimal.length);
    decimal += Math.floor(remainder / denominator);
    remainder %= denominator;
  }
  return '';
}

测试

我们可以对该函数进行单元测试。

console.log(findRepeatingDecimal(1, 3)); // '3'
console.log(findRepeatingDecimal(22, 7)); // '142857'
console.log(findRepeatingDecimal(1, 17)); // '0588235294117647'
console.log(findRepeatingDecimal(1, 2)); // ''

结论

在本文中，我们介绍了如何查找分数的重复序列。具体地，我们将分数转换为长除法，使用哈希表记录余数出现的位置，然后提取重复序列。该算法的时间复杂度为O(d)，其中d是分母的位数。