如何找到第一项和最后一项的共同比率？

它是数学的一个分支，通常处理非负实数，有时包括超限基数，以及加法、减法、乘法和除法运算的应用或合并。算术的基本运算是加法、减法、除法和乘法。遵循 BODMAS 规则来计算或排序任何涉及 +、-、× 和 ÷ 的操作。操作顺序是，

B: Brackets

O: Order

D: Division

M: Multiplication

A: Addition

S: Subtraction

进步

进度可能是显示或展示特定模式的数字列表。序列和级数最基本的区别在于，计算其^{第 n}项，级数有一个特定或固定的公式，即T _n = a + (n-1)d ，这是一个数的^{第 n}项的公式算术级数。

几何级数

几何级数是一个序列，其中每一项与其前一项保持恒定的比率。对于特定 GP 中的所有连续术语，表示为“r”的共同比率保持不变。

找到第一项和最后一项的共同比率

公比是等比数列中每个数之间的量。它被称为共同比率，因为它与每个数字或共同点相同，它也是两个连续数字之间的比率，即一个数字除以它在序列中的前一个数字。

最后一项只是特定系列或序列线算术级数或几何级数结束或终止的术语。它通常用小“l”表示，第一项是一系列或任何序列的初始项，如算术级数、几何级数谐波级数等。通常用小“a”表示，总项是特定系列中的术语，用“n”表示。

众所周知，

l = a × r ^(n-1)

l/a = r ^(n-1)

(l/a) ^(1/(n-1)) = r

使用此公式，如果给出第一项和最后一项，则计算共同比率。让我们看一些例子来更详细地理解这个公式，

示例问题

问题 1：在 GP 中，第一项是“1”，第四项是“27”，然后找出它们的公比。

解决方案：

Here a = 1 and a4 = 27 and let common ratio is  ‘r’ . So

⇒ a4 = a × ( r^4-1)

⇒ 27 =  1 × r^4-1 = r³

⇒ Common ratio =  r = 3

问题2：几何级数的第一项是64，第五项是4。如果所有项的和是128，公比是多少？

解决方案：

Since the 1st term is 64 and the 5th term is 4,

It is obvious that successive terms decrease in value. 

Therefore, r < 1. 

So, the sum of all terms is a/(1 – r) = 128.

 Solving, we get r = 1/2.

问题3：几何级数的前三项的乘积是512。如果在它的第二项上加2，这三项就形成了一个AP 求几何级数的各项。

解决方案：

Let the first three terms of G.P. are ,a,ar

Given that a × a × a = 512 ⇒  a³ = 512 ⇒ a = 8

Now, a+2 are in A.P.

⇒ 8r² + 8 = 20r

⇒ 8r² – 20r + 8 =0

⇒ 2r² – 5r + 2 =0

⇒ 2r²– 4r – r + 2 =0

⇒ 2r(r-2) – (r-2) =0

⇒ (2r-1)(r-2) = 0

⇒ r = 2 or 1/2

When r = 2, the terms are 4, 8, 16

When r = 1/2, then the terms are 16, 8, 4.

问题4：下面的系列是几何级数吗？

5 , 20 , 80 , 320 , …

回答：

Yes , it is an geometric progression with common ratio 4.

问题5：公比可以是负数的分数吗？

回答：

Yes , commin ratio can be a fraction or a negative number .