将数组拆分为三个具有递增总和的连续子数组的方法计数

在一些算法问题中，我们需要将一个数组拆分为三个具有递增总和的连续子数组，然后计算有多少种拆分方法。下面我们将介绍一些解决这个问题的方法。

方法一：暴力枚举

首先，我们可以使用暴力枚举的方法来解决问题。具体来说，我们可以枚举第一个子数组的结尾位置 $i$，然后枚举第二个子数组的结尾位置 $j$，最后检查第三个子数组是否存在。如果存在，则计数器 $ans$ 加一。

代码片段如下：

def countSubarrays(nums):
    n = len(nums)
    ans = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            if sum(nums[:i+1]) < sum(nums[i+1:j]) < sum(nums[j:]):
                ans += 1
    return ans

时间复杂度：$O(n^3)$。

方法二：前缀和

除了暴力枚举，我们还可以使用前缀和的方法来解决问题。具体来说，我们可以先计算出数组的前缀和数组 $preSum$，然后枚举第一个子数组的结尾位置 $i$，同时找到第一个右端点 $j$，使得 $preSum_j - preSum_i > 0$。然后再枚举第二个子数组的右端点 $k$，同时检查 $preSum_k - preSum_j > 0$ 和 $preSum_n - preSum_k > 0$ 是否成立。如果成立，则计数器 $ans$ 加一。

代码片段如下：

def countSubarrays(nums):
    n = len(nums)
    preSum = [0] * (n+1)
    for i in range(n):
        preSum[i+1] = preSum[i] + nums[i]
    
    ans = 0
    for i in range(1, n-1):
        j, k = i, i+1
        while j > 0 and preSum[j] - preSum[i-1] <= 0:
            j -= 1
        while k < n and preSum[k] - preSum[i] <= 0:
            k += 1
        if j > 0 and k < n and preSum[j-1] - preSum[0] > 0 and preSum[k] - preSum[j-1] > 0 and preSum[-1] - preSum[k] > 0:
            ans += 1
    
    return ans

时间复杂度：$O(n^2)$。

方法三：两遍扫描

除了前缀和，我们还可以使用两遍扫描的方法来解决问题。具体来说，我们首先计算出左边的最小前缀和 $minSum$，然后再计算出右边的最大后缀和 $maxSum$。然后我们可以枚举第二个子数组的结尾位置 $j$，然后找到最小的左端点 $i$，使得 $minSum_i < maxSum_j$。然后再枚举第三个子数组的右端点 $k$，同时检查 $maxSum_j < minSum_k$ 是否成立。如果成立，则计数器 $ans$ 加一。

代码片段如下：

def countSubarrays(nums):
    n = len(nums)
    minSum = [float('inf')] * n
    maxSum = [float('-inf')] * n
    
    curSum = 0
    for i in range(n):
        curSum += nums[i]
        if i == 0:
            minSum[i] = curSum
        else:
            minSum[i] = min(minSum[i-1], curSum)
    curSum = 0
    for i in reversed(range(n)):
        curSum += nums[i]
        if i == n-1:
            maxSum[i] = curSum
        else:
            maxSum[i] = max(maxSum[i+1], curSum)
    
    ans = 0
    for j in range(1, n-1):
        i = 0
        while i < j and minSum[i] >= maxSum[j]:
            i += 1
        k = n-1
        while k > j and maxSum[j] <= minSum[k]:
            k -= 1
        if i < j and j < k:
            ans += 1
    
    return ans

时间复杂度：$O(n)$。

总结

本文分别介绍了三种方法来计算将数组拆分为三个具有递增总和的连续子数组的方法计数。其中，暴力枚举的时间复杂度为 $O(n^3)$，前缀和的时间复杂度为 $O(n^2)$，两遍扫描的时间复杂度为 $O(n)$。可能大家最关注的是时间复杂度，但需要注意的是，虽然两遍扫描的算法时间复杂度最优，但是在常数项上常常会比其他算法要大，所以具体使用哪种算法还需要根据具体情况来进行考虑。