Doolittle算法：LU分解

简介

Doolittle算法是一种LU分解算法，用于将矩阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，即A=LU。该算法由托马斯·Doolittle于1963年提出。

算法步骤

1. 初始化一个n×n的矩阵A。
2. 初始化一个n×n的下三角矩阵L，以及一个n×n的上三角矩阵U。
3. 将A矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U，具体过程为：
   1. 将L矩阵的对角线上的元素全部置为1。
   2. 对于A矩阵的第i行：
      1. U矩阵的第i行为A矩阵的第i行减去前i-1行与L矩阵和U矩阵相乘的结果。
      2. 对于U矩阵的第i列，使用高斯消元法将其转换为对角矩阵。
      3. L矩阵的第i列为A矩阵的第i列除以对应的U矩阵对角线元素。
4. 返回分解后的下三角矩阵L和上三角矩阵U。

代码实现

以下为Python实现Doolittle算法的代码片段：

def doolittle(A):
    n = len(A)
    L, U = [[0] * n for i in range(n)], [[0] * n for i in range(n)]

    for j in range(n):
        U[0][j] = A[0][j]
        L[j][j] = 1

    for i in range(1, n):
        L[i][0] = A[i][0] / U[0][0]

    for i in range(1, n):
        for j in range(i, n):
            s = 0
            for k in range(i):
                s += L[i][k] * U[k][j]
            U[i][j] = A[i][j] - s

        for j in range(i + 1, n):
            s = 0
            for k in range(i):
                s += L[j][k] * U[k][i]
            L[j][i] = (A[j][i] - s) / U[i][i]

    return L, U

总结

Doolittle算法是一种常用的LU分解算法，可用于解线性方程组、求逆矩阵等计算。该算法的实现相对简单，但需要注意矩阵A的性质，如A的主元元素不为0。