RD Sharma 解决方案 - 第 14 章坐标几何 - 练习 14.5 |设置 2

简介

该解决方案为 RD Sharma 数学教材中的第 10 类题目，涉及坐标几何中的练习 14.5，设置 2。该练习主要考察了平面上直线的位置关系与图像变换。

目录

• 问题描述
• 解决方案
• 示例代码
• 总结

问题描述

在平面直角坐标系中，已知点 $P (-1, 2)$，$Q (3, 4)$ 和 $R (5, -2)$。设 $O$ 为坐标原点，$l$ 为直线 $PQ$ 所在直线，$l'$ 为直线 $QR$ 所在直线。令 $A$ 和 $B$ 分别为直线 $l$ 和 $l'$ 上到 $O$ 最近的点，则求 $AB$ 的长度。

解决方案

首先，我们需要求出直线 $PQ$ 和 $QR$ 的方程。可以使用两点式，得到：

直线 $PQ$ 的方程为 $y = x+3$

直线 $QR$ 的方程为 $y = -\frac{3}{4}x +\frac{19}{4}$

接下来，我们需要确定直线 $l$ 和 $l'$ 在平面上的位置关系。根据两条直线的斜率，我们可以发现两直线不相交，因此它们也不平行。由于两直线不相交，可以得出 $A$ 和 $B$ 都为两条直线的交点。我们可以通过求解两直线的交点坐标来确定 $A$ 和 $B$。

接着，我们根据 $A$ 和 $B$ 的坐标，使用勾股定理求出 $AB$ 的长度。

示例代码

# 顶点 P，Q，R 的坐标，需要自行提供
P = [-1, 2]
Q = [3, 4] 
R = [5, -2]

# 计算直线 PQ 和 QR 的方程
m1 = (Q[1] - P[1]) / (Q[0] - P[0])
b1 = P[1] - m1 * P[0]
m2 = (R[1] - Q[1]) / (R[0] - Q[0])
b2 = Q[1] - m2 * Q[0]

# 计算直线 l 和 l' 的交点坐标
x = (b2 - b1) / (m1 - m2)
y = m1 * x + b1

# 计算 AB 的长度
O = [0, 0]
A = [x, m1 * x + b1]
B = [x, m2 * x + b2]
distance_AB = ((B[0] - A[0])**2 + (B[1] - A[1])**2)**0.5

print("AB 的长度为：", distance_AB)

总结

本文介绍了 RD Sharma 数学教材中的第 10 类题目，涉及坐标几何中的练习 14.5，设置 2。通过计算两条直线的交点坐标和勾股定理求解 $AB$ 的长度。