在 MATLAB 中使用 Cayley Hamilton Theorem 求方阵的逆
矩阵是按行和列排列的一组数字，以形成一个矩形数组。在这里，这些数字称为该矩阵的条目或元素。以“m”个水平线（行）和“n”个垂直线（称为列）的形式的 (m*n) 个数字的矩形数组称为 m × n 阶矩阵，写为 m × n矩阵。
注意：如果 m=n，即行数 = 矩阵“A”中的列数，则称“A”是“n”阶方阵。
方阵的逆：
如果'A'是'n'阶的非奇异(|A|≠0)方阵，则存在nxn矩阵A -1 ，称为'A'的逆矩阵，满足如下性质：
AA-1 = A-1A = In, where In is the Identity matrix of order n我们可以使用各种方法找到方阵的逆：
- 凯莱-汉密尔顿法
- 高斯消除
- 牛顿法
- 特征分解法
凯莱-汉密尔顿定理：
在线性代数域中，根据 Cayley-Hamilton 定理，每个 'n' 阶的方阵 'A' 满足其自身的特征方程，由下式给出：
|A-λIn| = 0
Here 'In' is the Identity Matrix
of Order 'n' (same as that of A's Order)
and 'λ' is some Real Constant.展开上述'A'的特征方程，我们得到：
λn + C1λn-1 + C2λn-2 + . . . + CnIn = 0,
where C1, C2, . . . , Cn are Real Constants.根据 Cayley-Hamilton 定理， 'A' 的上述特征方程是自满足的，因此我们有：
An + C1An-1 + C2An-2 + . . . + CnIn = 0 ,
where C1, C2, . . . , Cn are Real Constants.使用 Cayley Hamilton 定理求方阵逆的步骤：
第 1 步：对于给定的 n 阶非奇异方阵 'A'，求其特征方程 |A-λI n | = 0。
展开行列式，使其按以下格式减少：
λn + C1λn-1 + C2λn-2 + . . . + CnIn = 0,
where C1, C2, . . . , Cn are Real Constants.步骤 2：根据 Cayley-Hamilton 定理，“A”的上述特征方程本身满足，因此：
An + C1An-1 + C2An-2 + . . . + CnIn = 0第 3 步：在上述等式两边同时乘以 A -1可简化为：
An-1 + C1An-2 + C2An-3 + . . . Cn-1In + CnA-1 = 0第四步：通过对上式的各项进行化简和重排，求出A -1 ，则A -1为：
A-1 = (-1/Cn)[ An-1 + C1An-2 + C2An-3 + . . . Cn-1In ]以下代码中使用的 MATLAB 函数是：
- disp(“txt”)：此方法向用户显示消息-'txt'。
- input(“txt”)：此方法显示消息-'txt'，并等待用户输入值并按回车键。
- poly(A)：此方法返回“n”阶矩阵“A”的特征多项式的 n+1 个系数。
- length(X)：此方法返回向量“X”的元素数。
- round(x)：此方法将“x”四舍五入到最接近的整数。
例子：
Matlab
% MATLAB Implementation to find Inverse
% of a Square Matrix using Cayley Hamilton theorem:
clear all
clc
disp("Finding Inverse of a Square Matrix using
Cayley Hamilton theorem in MATLAB | GeeksforGeeks")
A=input('Enter the Matrix A: ');
% To find Coefficients of Characteristic Equation of Matrix 'A'
cf=poly(A);
% To find the Number of Coefficients in
% the Characteristic Equation of Matrix 'A'
n=length(cf);
% To find the Inverse of A
inverse = cf(1)*A^(n-2);
for i=2:n-1
inverse=inverse+cf(i)*A^(n-i-1);
end
% Checking whether |A|=0 or not
if round(cf(n))==0
disp('Inverse of A does not exist as it is a singular matrix..')
else
inverse=inverse/(-cf(n));
disp('Inverse of A: ')
disp(inverse)
end输出：
输入矩阵：
输入矩阵：
输入矩阵：
