与斐波那契数之差至少为 K 的数字计数

在这个题目中，给出了一个正整数 $K$，要求计算有多少个正整数与它的前面一个斐波那契数之差至少为 $K$。具体来说，我们可以先求出第 $n$ 个斐波那契数 $F_n$，然后枚举 $F_{n-1}+K$ 到 $F_n-1$ 之间的所有正整数，计数即可。

下面给出这个问题的代码实现。

def count_numbers(K: int) -> int:
    """
    计算与前一个斐波那契数之差至少为 K 的数字计数。

    Args:
        K: 正整数 K。

    Returns:
        与前一个斐波那契数之差至少为 K 的数字计数。
    """
    a, b = 0, 1
    result = 0
    while True:
        c = a + b
        if c > 2 * 10 ** 9:
            break
        if c - b >= K:
            result += c - b - K + 1
        a, b = b, c
    return result

这个函数首先初始化了 $F_0=0$ 和 $F_1=1$，然后从 $F_2$ 开始逐步求解。每次计算 $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$ 后，如果 $F_n-F_{n-1}\geq K$，那么就将 $[F_{n-1}+K,F_n-1]$ 之间的正整数计入统计结果中。最终，返回统计结果就完成了计算。