使用 Adaline 网络实现 OR 门

在人工神经网络中，Adaline 模型是一种用于多分类和回归分析的线性回归神经网络。我们可以使用 Adaline 模型来实现逻辑门，比如 OR 门。

Adaline 网络

Adaline 网络定义一个加权向量和一个偏置值。输入向量被乘以加权向量并加上偏置值。结果被送入激活函数作为输出。对于 OR 门的 Adaline 网络，我们可以定义输入向量 $\boldsymbol{x}$、输出 $y$、加权向量 $\boldsymbol{w}$ 和偏置值 $b$。

$\begin{aligned} \boldsymbol{x} &= \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix} \text{或} \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} \ y &= \begin{cases} 0, & \text{if } b + \boldsymbol{w} \cdot \boldsymbol{x} \leq 0 \ 1, & \text{if } b + \boldsymbol{w} \cdot \boldsymbol{x} > 0 \end{cases} \ \boldsymbol{w} &= \begin{pmatrix} w_1 \ w_2 \end{pmatrix} \ b &= -1 \end{aligned}$

训练 Adaline 网络

在训练 Adaline 网络时，我们需要使用样本数据来调整加权向量和偏置值，从而使网络更准确地识别模式。

对于每个样本 $\boldsymbol{x}^{(i)}$ 和输出 $y^{(i)}$，我们可以使用误差公式来更新加权向量和偏置值。

$\begin{aligned} \Delta \boldsymbol{w} &= \eta (y^{(i)} - \phi(z^{(i)})) \boldsymbol{x}^{(i)} \ \Delta b &= \eta (y^{(i)} - \phi(z^{(i)})) \end{aligned}$

其中，$\eta$ 是学习速率，$\phi(z^{(i)})$ 是激活函数，$z^{(i)}$ 是输入量的加权和。

实现 OR 门

以下是使用 Python 实现 OR 门的 Adaline 网络示例代码。我们使用 Numpy 库来进行矩阵运算。

import numpy as np

class Adaline:
    def __init__(self):
        self.weights = np.random.random((2, 1))
        self.bias = -1
    
    def activation(self, y):
        return 1 if y > 0 else 0
    
    def train(self, inputs, targets, alpha, epochs):
        for epoch in range(epochs):
            for i in range(len(inputs)):
                x = inputs[i]
                y = targets[i]
                z = np.dot(x, self.weights) + self.bias
                e = y - self.activation(z)
                self.weights += alpha * e * x.reshape(-1, 1)
                self.bias += alpha * e
    
    def predict(self, x):
        z = np.dot(x, self.weights) + self.bias
        return self.activation(z)

if __name__ == '__main__':
    inputs = np.array([[0, 1], [1, 0], [1, 1]])
    targets = np.array([1, 1, 1])
    adaline = Adaline()
    adaline.train(inputs, targets, alpha=0.1, epochs=10)
    print(adaline.predict([0, 0])) # 0
    print(adaline.predict([0, 1])) # 1
    print(adaline.predict([1, 0])) # 1
    print(adaline.predict([1, 1])) # 1

在这个例子中，我们定义了 Adaline 类来实现 OR 门。在构造函数中，我们初始化加权向量和偏置值。在训练函数中，我们使用样本数据来更新加权向量和偏置值。在预测函数中，我们使用加权向量和偏置值来计算输出。最后，我们使用样本数据来测试我们的模型。