阳性乘积的子序列数

在计算机科学中，阳性乘积的子序列数是一种常见的问题。给定一个由正整数组成的序列，求其中所有乘积为正数的子序列的个数。

这个问题可以用动态规划的方法解决。具体来说，我们可以用两个数组 $pos$ 和 $neg$ 来记录累乘正数和负数的个数。然后，对于每个元素，我们可以计算累乘到这个位置的乘积，以及其对应的正数和负数的个数。最后，我们可以用这些数字来计算乘积为正数的子序列的个数。

下面是一个示例实现：

def count_positive_product_subsequences(nums):
    n = len(nums)

    # pos[i] 表示前 i 个元素中正数的个数
    # neg[i] 表示前 i 个元素中负数的个数（不含 0）
    pos = [0] * (n + 1)
    neg = [0] * (n + 1)
    pos[0] = neg[0] = 1

    # 计算累乘的正数和负数的个数
    for i in range(1, n + 1):
        if nums[i - 1] > 0:
            pos[i] = pos[i - 1] + 1
            neg[i] = neg[i - 1] if neg[i - 1] > 0 else 0
        elif nums[i - 1] < 0:
            pos[i] = neg[i - 1] if neg[i - 1] > 0 else 0
            neg[i] = pos[i - 1] + 1
        else:
            pos[i] = neg[i] = 0

    # 计算乘积为正数的子序列的个数
    ans = 0
    for i in range(1, n + 1):
        if nums[i - 1] > 0:
            ans += neg[i - 1] + 1
        elif nums[i - 1] < 0:
            ans += pos[i - 1] + 1

    return ans

这个算法的时间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 是序列的长度。

示例

>>> count_positive_product_subsequences([2, 3, -1, 0, -2, 4])
19

在这个示例中，有如下 19 个乘积为正数的子序列：

2, 3
2, 3, -1, 4
2, 3, -2, 4
2, 3, 4
2, -1, 4
2, -2, 4
2, 4
3, -1, 4
3, -2, 4
3, 4
-1, 0, 4
-1, 4
-2, 4
4
2
3
2, 3, -1
2, 3, -1, 0
-1