从给定点到原点所需的最小步数

在编程中，我们经常需要计算从一个点到另一个点的距离或路径长度。特别地，在很多应用中，我们需要计算从给定点到原点的最小步数，即沿着网格或坐标系内的直线或拐角路径移动，到达原点所需的最小步数。

基本思路

考虑一个简单的例子：给定点 $(x,y)$，我们可以从该点移动到 $(x-1,y)$、$(x+1,y)$、$(x,y-1)$ 或 $(x,y+1)$ 位置。因此，我们可以采用广度优先搜索（BFS）算法来计算从给定点到原点所需的最小步数：

1. 将原点加入队列，初始步数为 0。
2. 对于队列中的每个点，依次考虑从该点可以到达的四个邻居位置。
3. 如果邻居位置尚未被访问过，则将其加入队列，并将步数加 1。
4. 重复执行步骤 2 和 3，直到队列为空或者找到原点为止。
5. 如果找到原点，则可返回该点的步数，即为从给定点到原点所需的最小步数。

代码实现

下面是一个 Python 代码片段，用于计算从给定点 $(x,y)$ 到原点 $(0,0)$ 的最小步数：

from collections import deque

def min_steps_to_origin(x, y):
    # 记录访问过的位置
    visited = set()
    # 原点
    origin = (0, 0)

    # 将原点加入队列
    queue = deque([(origin, 0)])

    while queue:
        # 取出队列中的点和步数
        pos, steps = queue.popleft()

        # 判断是否到达原点
        if pos == (x, y):
            return steps

        # 对于每个邻居位置，判断是否访问过
        for neighbor in [(pos[0] - 1, pos[1]), (pos[0] + 1, pos[1]), (pos[0], pos[1] - 1), (pos[0], pos[1] + 1)]:
            if neighbor not in visited:
                visited.add(neighbor)
                queue.append((neighbor, steps + 1))

    # 如果队列为空，说明没有到达原点
    return -1

性能优化

上述代码片段虽然简单易懂，但其时间复杂度为 $O(mn)$ （其中 $m$ 和 $n$ 分别为网格的行数和列数）。为了提高计算效率，我们可以采用启发式搜索算法（如 A* 算法），利用估价函数来计算每个位置到原点的最小距离，并将其作为优先级进行搜索。但这超出了本篇文章的范围，读者可自行了解相关内容。