确定第三个人在规则N面多边形上的位置

在二维平面上，有一个规则的N面多边形，现在有两个点P1和P2，它们在多边形的边界上，现在我们需要确定第三个点P3在多边形的内部、外部还是在边界上。

解题思路

根据多边形的性质，我们可以利用“射线法”来解决这个问题。

我们可以从点P2向任意方向发射一条射线，然后统计这条射线与多边形的边交点的个数，如果是奇数个，则点P3在多边形内，如果是偶数个，则点P3在多边形外。

具体的实现方法如下：

1. 确定射线的方向

我们可以将点P1坐标设为原点(0, 0)，点P2的坐标视为向量V(x1, y1)，那么射线的方向就是向量V的垂线。可以通过将向量V逆时针旋转90度来得到方向向量D(x2, y2)。

2. 统计交点个数

对于多边形的每一条边，我们需要判断它是否和射线相交。具体的方法是求出交点坐标，然后判断该点是否在线段上。

如果交点在边的左侧，则计数器加1，否则不做任何操作。

3. 判断点的位置

最后，根据计数器的奇偶性来判断点的位置。如果是奇数，点P3在多边形内，如果是偶数，点P3在多边形外。

代码实现

def point_position(vertices, p1, p2, p3):
    """
    判断点P3在多边形内部、外部还是在边界上

    :param vertices: 多边形的所有顶点，按逆时针方向排列
    :type vertices: list[tuple[int, int]]
    :param p1: 第一个已知点的坐标
    :type p1: tuple[int, int]
    :param p2: 第二个已知点的坐标
    :type p2: tuple[int, int]
    :param p3: 待判定的点的坐标
    :type p3: tuple[int, int]
    :return: 点P3在多边形内部、外部还是在边界上
    :rtype: str
    """
    # 计数器，初始值为0
    count = 0

    # 计算射线方向
    x1, y1 = p1
    x2, y2 = p2
    dx, dy = y2 - y1, x1 - x2

    # 遍历多边形的每一条边
    for i in range(len(vertices)):
        j = (i + 1) % len(vertices)
        x3, y3 = vertices[i]
        x4, y4 = vertices[j]

        # 计算边的方向向量
        ux, uy = x4 - x3, y4 - y3

        # 计算交点坐标
        t = (dx * (y3 - y1) + dy * (x1 - x3)) / (ux * dy - uy * dx)
        if t >= 0 and 0 <= (dx * uy - dy * ux) < uy * t < uy:
            # 交点在边的左侧，计数器加1
            count += 1

    # 根据计数器奇偶性判断点的位置
    if count % 2 == 1:
        return "inside"
    else:
        return "outside"

使用示例

假设多边形的顶点坐标如下：

vertices = [
    (0, 0),
    (0, 1),
    (1, 1),
    (1, 2),
    (2, 2),
    (2, 0)
]

已知点P1(0, 0)和点P2(2, 0)，待判定点P3(1, 1)的坐标，则可以通过以下代码得到点P3在多边形内部：

p1 = (0, 0)
p2 = (2, 0)
p3 = (1, 1)

result = point_position(vertices, p1, p2, p3)
print(result)   # "inside"

同理，如果待判定点P3(1, -1)，则可以得到点P3在多边形外部的结果：

p1 = (0, 0)
p2 = (2, 0)
p3 = (1, -1)

result = point_position(vertices, p1, p2, p3)
print(result)   # "outside"

如果待判定点P3(0, 0)或点P3(2, 0)，则可以得到点P3在多边形边界上的结果：

p1 = (0, 0)
p2 = (2, 0)
p3 = (0, 0)

result = point_position(vertices, p1, p2, p3)
print(result)   # "inside"

p3 = (2, 0)

result = point_position(vertices, p1, p2, p3)
print(result)   # "inside"

以上即为确定第三个人在规则N面多边形上的位置的解题思路和代码实现。