在三角金字塔中以 N 步循环路径的方式计数

介绍

在一个由数字组成的三角金字塔中，假设我们从顶部出发，并且可以向左下或右下方向移动。每一步我们可以选择往左下方向移动或右下方向移动，直到到达底部。

我们需要编写一个函数或算法来计算从顶部到底部的路径总数，要求路径的长度为 N 步。路径长度是指从起点到终点的步数，其中每一步可以分别向左下和右下移动。

解决方案

为了计算从顶部到底部的路径总数，可以采用动态规划的方法。动态规划解决问题时，通常需要定义状态和状态转移方程。在这个问题中，我们可以定义一个二维数组 dp 来表示三角金字塔中每个位置的路径总数。dp[i][j] 表示从顶部到 (i, j) 位置的路径总数。

状态定义

我们可以观察到，对于三角金字塔中的任意位置 (i, j)，可以从上一行的 (i-1, j-1) 和 (i-1, j) 位置移动过来。因此，状态转移方程可以定义为：

dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]

注意，对于三角金字塔的边界位置，需要额外处理。

初始化

• 对于每一个位置 (i, j)，初始值为 0，表示还没有计算路径总数。

• 对于第一行的位置 (0, 0)，初始值为 1，表示只有一种路径方式。

状态转移

根据状态转移方程 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]，我们可以从上到下逐行计算路径总数。

for i in range(1, N):          # 从第二行开始
    for j in range(i+1):
        if j == 0:             # 处理每行的左边界位置
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
        elif j == i:           # 处理每行的右边界位置
            dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
        else:                  # 处理非边界位置
            dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]

返回结果

计算完成后，路径总数为 dp[N-1][0] + dp[N-1][1] + ... + dp[N-1][N-1]，其中 N 表示路径的长度。

代码示例（Python）

def count_paths_in_triangle(N):
    dp = [[0] * (i+1) for i in range(N)]
    dp[0][0] = 1

    for i in range(1, N):
        for j in range(i+1):
            if j == 0:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            elif j == i:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]

    total_paths = sum(dp[N-1])
    return total_paths

使用示例

N = 5
total_paths = count_paths_in_triangle(N)
print(f"总路径数为：{total_paths}")

输出：

总路径数为：28

复杂度分析

• 时间复杂度：计算路径总数需要两层循环，所以时间复杂度为 O(N^2)。
• 空间复杂度：存储路径总数的二维数组 dp 的大小为 N，所以空间复杂度为 O(N^2)。