拼图 |第 35 组(2 个鸡蛋和 100 层)

题目描述

你有两个鸡蛋，可以用来测试一个 N 层的建筑是否会坍塌。你需要确定这个建筑有多少层，才能保证在最坏的情况下测试出来。

当然，鸡蛋会有碎的可能。比如说，若你测试一个楼层 X，碎了，那么在之后的测试中，你就需要在 X 层以下的每一层测试，因为若再碎，你已经无法保证在最坏的情况下找到确切的楼层了。

假设你至少有一枚鸡蛋是未被摔碎的，请问最少需要测试多少次才能得到结果。

示例

输入: 100 层，2 个鸡蛋

输出: 最坏情况下测试次数是 14 次

解法

这是一道经典的动态规划问题。首先可以画出一个表格来模拟测试的过程：

| 鸡蛋 \ 楼层 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |...| 100 | |:----------:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:-:|:--:| | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |...| 100 | | 2 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 |...| 14 |

其中，每个格子的数值表示鸡蛋个数和当前测试楼层数下，最多需要测试的次数。例如，当只有一个鸡蛋时，测试 100 层楼最多需要 100 次；当有两个鸡蛋时，我们可以先测试第 14 层，如果碎了，则需要在 1 到 13 层之间进行 13 次测试；如果没碎，则需要在 15 到 100 层之间进行 14 次测试。

这个表格的填充可以使用动态规划来实现，具体过程如下：

1. 定义状态：dp[i][j] 表示有 i 个鸡蛋、测试 j 层楼最多需要测试的次数。
2. 初始化状态：对于所有的 1 <= i <= 2 和 1 <= j <= 100，有 dp[i][j] = j。
3. 状态转移：对于 1 <= i <= 2 和 1 <= j <= 100，有 dp[i][j] = min(max(dp[i-1][k-1], dp[i][j-k]) + 1)，其中 1 <= k <= j。
4. 返回结果：dp[2][100] 即为答案。

代码

def superEggDrop(K: int, N: int) -> int:
    dp = [[0] * (N+1) for _ in range(K+1)]
    for i in range(1, K+1):
        for j in range(1, N+1):
            if i == 1:
                dp[i][j] = j
            else:
                dp[i][j] = float('inf')
                for k in range(1, j+1):
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], max(dp[i-1][k-1], dp[i][j-k]) + 1)
    return dp[K][N]

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(KN^2)$，其中 K 表示鸡蛋数量，N 表示楼层数。状态转移的过程需要枚举每个楼层进行测试。
• 空间复杂度：$O(KN)$，需要用一个二维数组来存储状态。