构造下推自动机介绍

下推自动机（Pushdown Automaton）是一种有限状态自动机，其在状态转移过程中可以使用栈作为辅助数据结构。下推自动机被广泛应用于形式语言和计算复杂性理论中，特别是在上下文无关文法和上下文无关语言的研究中。

在这篇介绍中，我们将讨论如何构造下推自动机来识别形如 L = {a(2m)c(4n)dnbm | m,n ≥ 0} 的语言。

语言介绍

首先，让我们来对要识别的语言进行一些解释。形如 L = {a(2m)c(4n)dnbm | m,n ≥ 0} 的语言由以下字符串组成：

• 由一个或多个 a 组成的字符串，长度为 2*m，其中 m ≥ 0。
• 由一个或多个 c 组成的字符串，长度为 4*n，其中 n ≥ 0。
• 由一个或多个 d 后跟一个或多个 b 组成的字符串，长度与 a 的字符串长度相同，即 2*m。

例如，当 m=1 和 n=2 时，L 中的字符串包括：aacccccddddbb、aaaaaacccccccddddbb、aaaaaaaacccccccccddddddbb 等。

下推自动机

为了识别 L 中的字符串，我们需要构造一个下推自动机。下推自动机的状态集合由识别字符串的各个部分构成：a 的部分、c 的部分、d 的部分以及结束状态。状态转移关系需要根据输入串的部分进行定义，并且在转移过程中需要使用栈来记录信息。

下面是一个可能的下推自动机的状态图，其中用圆圈表示状态，用箭头表示转移关系，用矩形表示栈的内容。

graph LR
  S((q0, $, $)) --> S1((q1, $, a$))
  S1 --> S2((q2, $, aa$))
  S2 --> S3((q3, $, $))
  S3 --> S4((q4, b, $))
  S4 --> S5((q5, b, d$))
  S5 --> S6((q6, b, dd$))
  S6 --> F((q7, $, $))
  S1 --> S1((q1, a, a$))
  S2 --> S2((q2, a, aa$))
  S3 --> S3((q3, c, $))
  S4 --> S4((q4, d, $))
  S5 --> S5((q5, d, d$))
  S6 --> S6((q6, b, dd$))

首先，下推自动机从起始状态开始运行，栈中初始情况下只有两个 $ 符号。当读入 a 的字符时，自动机从当前状态移动到下一个状态并把一个 a 压入栈中。当读入 c 的字符时，自动机从当前状态移动到下一个状态并不对栈进行操作。当读入 d 的字符时，自动机从当前状态移动到下一个状态并把一个 d 压入栈中。当读入 b 的字符时，自动机从当前状态移动到下一个状态并弹出栈中的元素。当自动机的状态达到终止状态时，则意味着输入的字符串符合要求。

总结

在这篇介绍中，我们介绍了下推自动机以及如何构造下推自动机来识别形如 L = {a(2m)c(4n)dnbm | m,n ≥ 0} 的语言。下推自动机在计算理论和形式语言中被广泛应用，可以用于识别一些重要的编程语言特性，例如上下文无关文法和上下文无关语言。