给定数组中所有无序对的按位异或

在本文中，我们将讨论如何在给定数组中找到所有无序对的按位异或。在给定数组中，无序对是指满足 i < j 且 a[i] > a[j] 的 (i,j) 对。按位异或是指对于两个二进制数的每一位，如果这一位上的数字不同，则为1，否则为0。

我们将首先讨论暴力解法，然后介绍一种更高效的解法。

暴力解法

暴力解法很简单：我们可以使用两个嵌套的循环来枚举所有无序对，然后计算它们的按位异或并将其累加到结果中。这样做的时间复杂度为 $O(n^2)$，其中 $n$ 是数组长度。

以下是暴力解法的代码：

def xor_of_all_unordered_pairs(arr):
    n = len(arr)
    res = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            if arr[i] > arr[j]:
                res ^= arr[i] ^ arr[j]
    return res

高效解法

暴力解法的时间复杂度显然很高，但我们可以使用一些技巧来得到 $O(n\log n)$ 的算法。

我们可以考虑对数组进行排序。然后，对于每个元素 $a_i$，我们可以计算比其小的元素的异或和。注意到如果 $a_i$ 已经是比其小的某个元素的右侧时，那么该元素的异或和就不需要再计算了。我们可以使用二叉搜索树来维护当前已经遍历过的元素，以便快速查找比 $a_i$ 小的元素。

以下是高效解法的代码：

class Node:
    def __init__(self, val):
        self.val = val
        self.left = None
        self.right = None
        self.count = 1
        self.xor_of_smaller = 0

def insert(root, val):
    if root is None:
        return Node(val)
    elif val < root.val:
        root.left = insert(root.left, val)
        root.count += 1
        root.xor_of_smaller ^= val
        return root
    else:
        root.right = insert(root.right, val)
        root.count += 1
        return root

def find_xor_of_smaller(root, val):
    if root is None:
        return 0
    elif val == root.val:
        return root.xor_of_smaller
    elif val < root.val:
        return find_xor_of_smaller(root.left, val)
    else:
        return root.xor_of_smaller ^ root.val ^ find_xor_of_smaller(root.right, val)

def xor_of_all_unordered_pairs(arr):
    n = len(arr)
    root = None
    res = 0
    for i in range(n):
        res ^= find_xor_of_smaller(root, arr[i])
        root = insert(root, arr[i])
    return res

总结

在本文中，我们学习了如何在给定数组中找到所有无序对的按位异或。我们介绍了一种暴力解法和一种更高效的解法，并给出了相应的代码。我们希望这篇文章对你有所帮助！