查找给定基数B中最多N个数字的总数

在计算机科学中，基数通常指数据的进制表示方式。例如，在十进制中，数字可以用0-9中的数字表示。而在二进制中，数字只能用0和1来表示。

本题要求编写一个程序，在给定基数 B 的情况下，查找最多包含 N 个数字的数字总数。

方法一：暴力枚举

最简单的方法是暴力枚举，从0开始一直到B^N-1，每次加1，然后检查当前数字是否满足最多包含 N 个数字的要求。

时间复杂度为 O(B^N)，对于大数据集，效率非常低下。

以下是对应Python代码片段：

def count_numbers(B: int, N: int) -> int:
    count = 0
    for num in range(B**N):
        if len(str(num)) <= N:
            count += 1
    return count

方法二：组合计算

基于排列组合的方法，我们可以计算出可以放置的数字的组合数。假设我们要计算B进制下最多N个数字的数量，假设第一位（最高位）的数字从1到B都可以取，那么第一位可以有B种可能性。接下来，第二位的数字可以有B种可能性，也就是说，我们可以从B个数字中选择一个数字放置在第二位。以此类推，我们可以计算出最多N个数字的总数。

以下是对应Python代码片段：

def count_numbers(B: int, N: int) -> int:
    count = 0
    for i in range(1, N+1):
        count += comb(B, i, exact=True)
    return count

其中comb函数是Python中的组合计算函数，用于计算从B个数字中选择i个数字的组合数。

方法三：基于递归的动态规划

动态规划是一种非常有用的技术，可以利用已知的信息来计算未知的信息。在本题中，我们可以使用递归和记忆化搜索的方法来利用已知的信息计算未知的信息。

假设我们要计算B进制下最多N个数字的数量，那么对于给定的位数，我们可以有两个选项。我们可以有一个数字，那么位数会相应减少一位，或者我们可以没有数字，那么位数不发生变化，但是数字数量减少一位。因此，我们可以使用递归的方法来计算所有可能的答案。

我们可以定义一个函数count(B, N, K)，其中B是进制，N是数字个数，K是当前位数，函数返回最多包含N个数字的K位数中数字的数量。使用一个二维缓存数组来记录已经计算过的答案。

以下是对应Python代码片段：

from functools import lru_cache

@lru_cache()
def count(B, N, K):
    if K == 0:
        return 1
    if N == 0:
        return 1
    total = 0
    for d in range(B):
        if d == 0:
            total += count(B, N, K-1)
        else:
            total += count(B, N-1, K-1)
    return total

def count_numbers(B, N):
    total = 0
    for i in range(1, N+1):
        total += count(B, i, i)
    return total

其中，函数lru_cache是Python内置函数，用于缓存计算结果以提高递归函数的性能。