查找插入0的两个数组的最大点积

问题描述

给定两个长度为 n 的整数数组 nums1 和 nums2，其中每个元素的绝对值都不超过 1000，找到两个数组中对应元素乘积的最大值，并返回这个最大值。

在两个数组中都插入一个零后，如果一个数组中的一个数字与另一个数组中的相同下标的数字相乘，则得到的乘积为 0。

解决方案

思路

这道题是一道经典的动态规划问题。我们可以使用一个两行 n+1 列的二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示 nums1 数组中前 i 个数字与 nums2 数组中前 j 个数字的最大点积。状态转移方程如下：

$$ dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1]+nums1[i-1]*nums2[j-1], dp[i][j-1], dp[i-1][j]) $$

其中，dp[i-1][j-1]+nums1[i-1]*nums2[j-1] 表示选取 nums1 数组中第 i 个数字和 nums2 数组中第 j 个数字进行乘积运算，并加上之前的最大点积；

dp[i][j-1] 表示选择 nums2 数组的第 j 个数字不参与乘积运算；

dp[i-1][j] 表示选择 nums1 数组的第 i 个数字不参与乘积运算。

代码实现

def maxDotProduct(nums1, nums2):
    m, n = len(nums1), len(nums2)
    dp = [[-1000000000] * (n + 1) for _ in range(2)]
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            dp[i%2][j] = max(dp[(i-1)%2][j-1]+nums1[i-1]*nums2[j-1], dp[i%2][j-1], dp[(i-1)%2][j])
    return dp[m%2][n]

示例

>>> nums1 = [2, 1, -2, 5]
>>> nums2 = [3, 0, -6]
>>> maxDotProduct(nums1, nums2)
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总结

本题是一道典型的动态规划问题，需要使用二维数组进行状态转移。使用 dp[i][j] 表示 nums1 数组中前 i 个数字与 nums2 数组中前 j 个数字的最大点积。状态转移方程为 dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1]+nums1[i-1]*nums2[j-1], dp[i][j-1], dp[i-1][j])。在实现时，可以使用滚动数组来降低空间复杂度。