回文中最长的双字符串

介绍

回文中最长的双字符串是指一个字符串中含有两个回文子字符串且这两个回文子字符串之间没有其他回文子字符串，且这两个回文子字符串长度之和最长。例如，字符串 "abcbaefg" 中，最长的双字符串为 "abcba" 和 "efg"。

解决这个问题可以用 Manacher 算法，该算法可以在线性时间复杂度内求出字符串中所有以某个字符为中心的最长回文半径。使用 Manacher 算法可以快速定位所有可能会组成双字符串的回文子字符串，并根据长度计算最长的双字符串。

算法思路

1. 预处理字符串，添加特殊字符，使得字符串长度为奇数。例如 "abc" 处理后变为 "^#a#b#c#$"。

2. 维护一个数组 p，表示以当前位置字符为中心的回文半径。也就是 p[i] 表示以第 i 个字符为中心，最长回文半径的长度。

3. 遍历字符串，维护以下变量：

   • max_right：当前遍历到的回文子串的最右边界。

   • center：回文子串的中心位置。

   • max_len：最长回文子串的长度。

4. 根据 i 和 max_right 的关系分类讨论：

   • 如果 i <= max_right，根据回文子串的对称性，可以利用 p[2*center-i] 的值更新 p[i]。

   • 如果 i > max_right，暴力扩展，更新 max_right 和 center。

   • 在更新 p[i] 的同时，判断当前回文子串是否为双字符串的其中一个子串。

5. 根据所有的回文子串长度计算最长的双字符串长度。

6. 如有需要，输出最长的双字符串。

代码实现

下面是 Python 代码实现：

def double_palindrome(s: str) -> int:
    if len(s) < 2:
        return len(s)

    # 处理字符串
    t = "^#" + "#".join(s) + "#$"
    n = len(t)

    # 维护中心点和右边界
    max_right = center = max_len = 0
    p = [0] * n

    for i in range(1, n - 1):
        if i < max_right:
            p[i] = min(p[2 * center - i], max_right - i)

        # 暴力扩展
        while t[i + p[i] + 1] == t[i - p[i] - 1]:
            p[i] += 1

        # 更新中心点和右边界
        if i + p[i] > max_right:
            max_right = i + p[i]
            center = i

        # 更新最长回文子串长度
        max_len = max(max_len, p[i])

    # 计算最长的双字符串长度
    len1 = 2 * max_len
    len2 = 0
    for i in range(1, n - 1):
        if p[i] == max_len and p[i - max_len] == max_len:
            len2 = max(len2, 2 * max_len + 2 * p[i - max_len])

    return max(len1, len2)

总结

Manacher 算法可以在线性时间内求解字符串中的回文子串。使用 Manacher 算法可以快速定位所有可能会组成双字符串的回文子字符串，并根据长度计算最长的双字符串。算法实现关键在于维护回文子串的半径，以及通过暴力扩展和对称性更新回文子串的半径。