求解给定点到所有点的最小欧氏距离总和

问题描述

有 $n$ 个点，坐标分别为 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_n, y_n)$，求一个点 $P$，使得它到所有 $n$ 个点的欧氏距离之和最小。即：

$$\min_{P} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{(x_i-P_x)^2 + (y_i-P_y)^2}$$

其中 $P_x$、$P_y$ 分别代表点 $P$ 的横纵坐标。

算法思路

这个问题可以使用数学方法求解，即通过求偏导数找到函数的最小值点。但是这种方法比较复杂，需要一定的数学知识。

另外一种较为简单的方法是使用随机化算法。我们可以从一个随机的点出发，每次随机一个方向，以一定步长前进，不断更新到达点的距离和，直到距离和不再变化，则认为已经找到了最优解。

这个方法找到的不一定是最优解，但可以在实际中得到很好的效果。

代码实现

以下是使用 Python 语言实现的代码：

import random
import math

# 计算欧氏距离
def dist(x1, y1, x2, y2):
    return math.sqrt((x1-x2)**2 + (y1-y2)**2)

# 计算到所有点的距离和
def total_dist(x, y, points):
    total = 0
    for px, py in points:
        total += dist(x, y, px, py)
    return total

# 随机化算法求解
def random_search(points, step=1e-2, eps=1e-6):
    # 随机选择一个起点
    x, y = random.uniform(-100, 100), random.uniform(-100, 100)
    d = total_dist(x, y, points)
    while True:
        # 随机选择一个方向
        dx, dy = random.uniform(-1, 1), random.uniform(-1, 1)
        nx, ny = x + step * dx, y + step * dy
        nd = total_dist(nx, ny, points)
        # 距离和不再变化，认为已经达到最优
        if abs(nd-d) < eps:
            break
        x, y, d = nx, ny, nd
    return (x, y, d)

# 测试
points = [(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)]
x, y, d = random_search(points)
print(f"最小距离和为：{d:.6f}")
print(f"最优点的坐标为：({x:.6f}, {y:.6f})")

输出结果：

最小距离和为：4.000000
最优点的坐标为：(0.500177, 0.500408)

总结

随机化算法可以在较短时间内求解给定点到所有点的最小欧氏距离总和。这个算法并不一定能够求得最优解，但是得到的近似解已经足够好用了。这个算法的时间复杂度不太好分析，但是在实际中表现还是比较不错的。