计算与x的XOR大于x的较小值

问题描述

给出一个整数 $x$，要求计算出与 $x$ 的异或值大于 $x$ 的最小整数。

解题思路

首先，我们需要明确 XOR 运算的性质：

• $a \operatorname{xor} b = 0$ 当且仅当 $a = b$
• $a \operatorname{xor} 0 = a$

有了这个性质，我们就可以得到以下结论：

• 对于一个正整数 $x$，它与 $x+1$ 的异或值一定大于 $x$，因为没有进位的情况下，最低位一定是从 0 变成 1。
• 对于一个二进制表示均为 1 的正整数 $y$（如 $y=11111$），它与 $y+1$ 的异或值等于 1，也是大于 $y$ 的。

因此，对于一个任意的正整数 $x$，我们可以分成以下几种情况：

1. $x$ 的最高位为 1，那么与 $x$ 不同最高位为 1 的数 $y=x+1$ 就是答案。
2. $x$ 的二进制表示均为 1，那么 $2x+1$ 就是答案，因为 $x \operatorname{xor} (2x+1) = (x \operatorname{xor} x) \operatorname{xor} (x \operatorname{xor} 2x) \operatorname{xor} (2x \operatorname{xor} 1) = 1$。
3. $x$ 的最高位为 0，那么 $y$ 的最高位也是 0，我们可以从低到高遍历 $x$ 的二进制表示，找到最高位不为 0 的位置，将该位置及之后的所有位置全部置为 1，得到的 $y$ 就是答案。

代码实现

下面是 Python 的代码实现：

def find_minimum_larger_x(x):
    # 判断第一种情况
    if x & (x+1) == 0:
        return x+1
    
    # 判断第二种情况
    if (x & (x+1)) == (x ^ (x+1)):
        return 2*x+1
    
    # 判断第三种情况
    y = x
    while y & 1 == 1:
        y >>= 1
    return y | (y-1)

其中，判断第一种情况的语句 x & (x+1) == 0 判断的是 $x$ 的二进制表示是否形如 $0111\cdots$（也就是最高位为 1，其它位均为 0），如果是，则返回 $x+1$。

判断第二种情况的语句 (x & (x+1)) == (x ^ (x+1)) 判断的是 $x$ 的二进制表示是否形如 $1111\cdots$，如果是，则返回 $2x+1$。

判断第三种情况的语句中，我们先找到 $x$ 最高位不为 0 的位置（用 while y & 1 == 1 找到），然后将该位置及以下的所有位置置为 1，即 y | (y-1)，就得到了答案。

总结

本题主要考察了对于异或运算的灵活运用，以及对于二进制表示的理解。需要注意的是，Python 中的整数没有表示范围限制，因此不需要考虑溢出的情况。而 C++ 等语言需要特判溢出的情况。