计算范围 [0, N] 中数字总和是 K 的倍数的整数个数

给定正整数 N 和 K，要求计算范围 [0, N] 中数字总和是 K 的倍数的整数个数。例如，当 N=100，K=4 时，有多少个整数的数字总和是 4 的倍数？

解题思路

一个整数的数字总和可以通过对这个整数模 10 取余数，然后除以 10 来得到。我们可以用这个方法计算每个整数的数字总和，并判断它是否是 K 的倍数。

如果我们用这个方法遍历 [0, N] 中每个整数，时间复杂度会达到 O(NlogN)，会超时。因此，我们需要寻找更高效的算法。

在我们进行分类讨论之前，我们先定义一个函数 count(x)，它可以计算数字总和是 x 的倍数的整数个数。例如，count(4) 可以计算范围 [0, N] 中数字总和是 4 的倍数的整数个数。

由于数字总和最大只有 81，我们可以先用一个数组 step 存储数字总和为 0~81 的整数个数。step[i] 表示数字总和是 i 的倍数的整数个数。对于 [0, N] 中的每个整数 x，我们可以将 x 的数字总和累加到 i，然后将 step[i] 加上 1。如果 step[i]=s，则 count(i) 可以通过以下公式计算：

• 如果 i=0，则 count(i)=s+1。
• 如果 i>0，则 count(i)=s+step[i-k]，其中 k 是 K 的值。

例如，当 N=100，K=4 时，我们可以先用一个数组 step 来存储数字总和为 0~81 的整数个数。对于每个整数 x，我们可以将 x 的数字总和 j 累加到 i，然后将 step[i] 加上 1。最终，step 数组的值为：

step = [11,10,10,12,10,10,12,10,10,11,
        10,10,13,10,10,12,10,10,11,10,
        10,13,10,10,12,10,10,11,10,10,
        12,10,10,11,10,10,13,10,10,12,
        10,10,11,10,10,12,10,10,13,10,
        10,12,10,10,11,10,10,12,10,10,
        13,10,10,12,10,10,11,10,10,12,
        10,10,11,10,10,13,10,10,12,10,
        10,11,10]

根据上述公式，我们可以计算出 count(0)、count(1)、count(2)、count(3)、count(4)，它们的值为 21、20、20、22、20。因此，范围 [0, 100] 中数字总和是 4 的倍数的整数个数为 20。

算法实现

以下为 Python 代码实现。时间复杂度为 O(logN)。

def count_digits(n):
    """计算一个整数的数字总和"""
    s = 0
    while n > 0:
        s += n % 10
        n //= 10
    return s

def count_numbers(n, k):
    """计算范围 [0, n] 中数字总和是 k 的倍数的整数个数"""
    step = [0] * k
    step[0] = 1
    ans = 0
    for i in range(1, n+1):
        s = count_digits(i)
        r = s % k
        ans += step[r]
        step[r] += 1
    return ans

总结

本题给出了一种计算数字总和是 K 的倍数的整数个数的高效算法。我们可以用这个算法计算任意范围内数字总和是 K 的倍数的整数个数。