Bellman Ford 算法（简单实现）

Bellman Ford 算法是一种用于解决有负权边的最短路径问题的算法。它基于动态规划的思想，通过不断地更新所有顶点的最短路径来达到求解最短路径的目的。本文将介绍 Bellman Ford 算法及其简单实现。

算法思想

Bellman Ford 算法通过对边进行松弛操作来计算最短路径。松弛操作的本质是通过比较两个点的路径长度来判断它们之间是否存在更短路径。具体来说，算法会遍历每一条边，如果从源点到该边的一个端点的路径长度加上该边的权值比从源点到该边的另一个端点的路径长度更小，则更新路径长度。这个过程需要重复执行 $V-1$ 次，其中 $V$ 表示图中的节点数。

在实际应用中，Bellman Ford 算法并不是最优的解决方案，因为它需要重复执行 $V-1$ 次，时间复杂度为 $O(VE)$。如果图中含有负环，则算法无法给出正确的结果。但它是一种比较容易实现的算法，而且能够处理负权边的情况。

算法实现

下面是 Bellman Ford 算法的简单实现，假设有一个以邻接表形式表示的带有负权边的有向图：

from collections import defaultdict

class Graph:
    def __init__(self):
        self.edges = defaultdict(list)
        self.vertices = set()

    def add_edge(self, u, v, w):
        self.edges[u].append((v, w))
        self.vertices.add(u)
        self.vertices.add(v)

def bellman_ford(graph, src):
    dist = {v: float('inf') for v in graph.vertices}
    dist[src] = 0

    for i in range(len(graph.vertices) - 1):
        for u in graph.vertices:
            for v, w in graph.edges[u]:
                if dist[u] != float('inf') and dist[u] + w < dist[v]:
                    dist[v] = dist[u] + w

    for u in graph.vertices:
        for v, w in graph.edges[u]:
            if dist[u] != float('inf') and dist[u] + w < dist[v]:
                raise ValueError("Graph contains a negative-weight cycle")

    return dist

这个实现中，Graph 类使用了 Python 的 defaultdict 和 set 数据结构来维护图的信息。bellman_ford 函数使用一个字典 dist 来记录各个顶点到源点的最短路径长度。初始时，路径长度都设置为无穷大，除了源点，源点的路径长度设置为 0。

然后对每条边进行 $V-1$ 次松弛操作，即遍历每个顶点的相邻边，如果发现从该顶点到另一个顶点的路径长度可以被更新，则更新路径长度。

在所有松弛操作执行完毕后，需要检查是否存在负环。为了检查负环，再次遍历每个顶点的相邻边，如果存在从一个顶点出发可以到达一个更短路径的顶点，则说明存在负环。

最后，返回 dist 字典即可。这个字典记录了从源点到其他顶点的最短路径长度。如果路径长度为无穷大，则说明该顶点无法到达。

测试样例

下面是一个测试样例。这个示例中，有 4 个顶点和 4 条边，其中一条边是负权边。

g = Graph()
g.add_edge('A', 'B', 8)
g.add_edge('A', 'C', 1)
g.add_edge('B', 'D', 1)
g.add_edge('C', 'D', -3)

dist = bellman_ford(g, 'A')
print(dist)

输出结果如下所示：

{'A': 0, 'C': 1, 'D': -2, 'B': 8}

我们可以看到，从源点 A 到各个顶点的最短路径长度分别为 0、1、-2 和 8，与预期结果一致。