计算数组中的反转|设置2(使用自平衡BST)

本文介绍如何使用自平衡二叉搜索树（AVL树）来解决计算数组中反转的问题。

问题描述

给定一个包含 n 个元素的数组 arr，请计算出反转 arr 后的数组。

“反转”操作定义如下：

对于数组 arr，如果下标为 i 的元素和下标为 j 的元素满足 i<j 且 arr[i]>arr[j]，那么我们称之为一次“反转”操作。例如，数组 [1,3,2] 中，下标为 1 和下标为 2 的元素就组成了一个“反转”操作。

解决方案

一个暴力的解决方案是遍历数组中所有的元素对，并计算反转次数。时间复杂度为 $O(n^2)$。

更高效的解决方案是利用自平衡二叉搜索树（AVL树）进行优化。我们可以将数组中的元素插入到AVL树中，每插入一个元素，就统计比该元素小的元素个数，即为该元素的反转次数。然后对该元素进行插入操作。因此，我们只需要维护一个计数器，并在每次插入时更新计数器即可。

例如，对于数组 [4, 2, 0, 3, 1]，我们可以构建出如下的 AVL 树：

             2
            / \
           0   4
          / \
         1   3

插入 4 时，计数器为 0，插入 2 时，计数器为 0，插入 0 时，计数器为 0，插入 3 时，计数器为 2，插入 1 时，计数器为 4。因此，数组 [4, 2, 0, 3, 1] 的反转次数为 6。

代码实现

下面是使用 Python 实现的 AVL 树和计算反转次数的代码实现。

AVL 树实现

class AVLNode:
    def __init__(self, key):
        self.key = key
        self.left = None
        self.right = None
        self.height = 1
        self.count = 1


class AVLTree:
    def __init__(self):
        self.root = None

    def insert(self, key):
        self.root = self._insert_helper(self.root, key)

    def _insert_helper(self, node, key):
        if node is None:
            return AVLNode(key)
        elif key < node.key:
            node.left = self._insert_helper(node.left, key)
        else:
            node.right = self._insert_helper(node.right, key)

        node.height = 1 + max(self._get_height(node.left), self._get_height(node.right))

        balance_factor = self._get_balance_factor(node)

        if balance_factor > 1 and key < node.left.key:
            return self._right_rotate(node)

        if balance_factor < -1 and key > node.right.key:
            return self._left_rotate(node)

        if balance_factor > 1 and key > node.left.key:
            node.left = self._left_rotate(node.left)
            return self._right_rotate(node)

        if balance_factor < -1 and key < node.right.key:
            node.right = self._right_rotate(node.right)
            return self._left_rotate(node)

        return node

    def _get_height(self, node):
        if node is None:
            return 0

        return node.height

    def _get_balance_factor(self, node):
        if node is None:
            return 0

        return self._get_height(node.left) - self._get_height(node.right)

    def _right_rotate(self, z):
        y = z.left
        t3 = y.right

        y.right = z
        z.left = t3

        z.height = 1 + max(self._get_height(z.left), self._get_height(z.right))
        y.height = 1 + max(self._get_height(y.left), self._get_height(y.right))

        return y

    def _left_rotate(self, z):
        y = z.right
        t2 = y.left

        y.left = z
        z.right = t2

        z.height = 1 + max(self._get_height(z.left), self._get_height(z.right))
        y.height = 1 + max(self._get_height(y.left), self._get_height(y.right))

        return y

计算反转次数实现

def count_inversions(arr: List[int]) -> int:
    tree = AVLTree()
    count = 0

    for i in range(len(arr)):
        count += i - tree_count(tree.root, arr[i])
        tree.insert(arr[i])

    return count


def tree_count(node, key):
    if node is None:
        return 0

    if node.key == key:
        return node.count

    if key < node.key:
        return tree_count(node.left, key)

    return node.count + tree_count(node.right, key)

总结

本文介绍了如何使用自平衡二叉搜索树（AVL树）来解决计算数组中反转的问题。通过使用 AVL 树，我们可以将时间复杂度从 $O(n^2)$ 优化为 $O(nlogn)$。