矩阵中递减路径的总数

矩阵是程序员常见的数据结构之一，而矩阵中递减路径的总数则是一种常见的算法问题。本文将介绍这个问题的定义、解法和实现。

问题定义

给定一个矩阵，矩阵中的元素可能是正整数、负整数或零。要求找出所有的从左上角到右下角的路径，使得路径上的数是递减的。递减指的是从左到右、从上到下的方向上，每个相邻的数都要小于前一个数。路径不能包含相同的元素。

例如，下面的矩阵有两条递减路径：

7  8  9
4  5  6
3  2  1

解法

这个问题可以使用深度优先搜索（DFS）来解决。DFS会遍历所有的路径，并在遍历过程中判断当前路径是否是递减的。

对于每个位置，都可以向下和向右两个方向扩展路径，因此可以使用递归函数来实现DFS。函数的输入参数包括当前位置、目标位置、当前路径和已访问过的元素集合；输出参数包括递减路径的数量。

每次递归时，先判断当前位置是否越界或已经访问过。如果是，则直接返回0；如果当前位置是目标位置，则递减路径数加1。

然后，向下和向右两个方向依次递归，并将当前元素加入已访问集合，路径加上当前元素。如果递归返回的递减路径数大于0，则将返回的数加到当前的递减路径数。

最后，将当前元素从已访问集合和路径中删除，并返回递减路径数。

代码实现

下面是使用Python实现的代码：

def findDecreasingPaths(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    def dfs(i, j, target_i, target_j, path, visited):
        if i < 0 or j < 0 or i >= m or j >= n or (i, j) in visited:
            return 0
        if i == target_i and j == target_j:
            return 1
        if path and matrix[i][j] >= path[-1]:
            return 0
        visited.add((i, j))
        path.append(matrix[i][j])
        count = dfs(i+1, j, target_i, target_j, path, visited) \
                + dfs(i, j+1, target_i, target_j, path, visited)
        visited.remove((i, j))
        path.pop()
        return count
    return dfs(0, 0, m-1, n-1, [], set())

该函数接受一个矩阵作为输入参数，并返回递减路径数。

代码中使用了Python的内置函数set作为已访问元素的集合，可以更方便地进行元素的去重和查询。path是用于记录路径的列表，每次递归前需要将当前元素加入其中。count是右侧和下方的递减路径数之和。

总结

矩阵中递减路径的总数是一道很典型的DFS问题。通过深刻理解DFS的思想，可以解决广泛的算法问题。在实际应用中，需要根据问题的具体特征选择合适的算法和数据结构。