第n个加泰罗尼亚语编号程序

该程序用于生成第n个加泰罗尼亚语编号。加泰罗尼亚语编号是任意长度的数字序列，定义如下：

• 第0个加泰罗尼亚语编号是1。
• 第n个加泰罗尼亚语编号是由2n个括号组成的字符串，其中任意一个左括号后面都跟着一个右括号。这个字符串由两个合法的加泰罗尼亚语编号串连接而成，并且第一串的编号比n小，第二串的编号比n小一。

例如，第0个加泰罗尼亚语编号是1，第1个加泰罗尼亚语编号是()，第2个加泰罗尼亚语编号是()()和(())，第3个加泰罗尼亚语编号是()()()、()(())和((()))。

算法

以下是生成第n个加泰罗尼亚语编号的算法：

def catalan(n):
    if n == 0:
        return 1
    else:
        return sum([catalan(i)*catalan(n-i-1) for i in range(n)])

def catalan_string(n):
    if n == 0:
        return "1"
    else:
        return "".join(["("+catalan_string(i)+")("+catalan_string(n-i-1)+")" for i in range(n)])

其中，catalan(n)用来计算第n个加泰罗尼亚数。该函数采用递归算法，因此在计算较大的n时可能存在性能问题。

catalan_string(n)用来生成第n个加泰罗尼亚语编号。该函数同样采用递归算法，因此在计算较大的n时也可能存在性能问题。

使用方法

使用该程序生成第n个加泰罗尼亚语编号的方法如下：

n = 5
catalan_string(n) # 输出 (((()())())(()()))((()()())()())(())

其中，n为所要生成的加泰罗尼亚语编号的编号。

参考文献

• 维基百科：Catalan数
• GeeksforGeeks：计算第n个加泰罗尼亚数的三种方法