贝塞尔插值

贝塞尔曲线是一个平滑的曲线，它通过一系列控制点确定了它的形状。通过插值，我们可以根据控制点绘制出一条贝塞尔曲线。

原理

贝塞尔曲线是由一堆点，形成的平滑曲线。计算公式的基本形式为：

$$B(t) = \sum_{i=0}^{n} P_{i} {n\choose i}(1 - t)^{n - i}t^i$$

其中 $P_{i}$ 是控制点，$n$ 是控制点的数量，$t$ 是曲线的参数。当 $t = 0$ 时，曲线的点等于第一个控制点 $P_0$；当 $t = 1$ 时，曲线的点等于最后一个控制点 $P_n$。

实现

我们可以使用 Python 来实现贝塞尔插值，下面是一个简单的例子：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def bezier_curve(points, nTimes=1000):
    """
    Given a set of control points, return the
    bezier curve defined by the control points.
    """
    N = len(points)
    t = np.linspace(0, 1, nTimes)
    polynomial_array = np.array([np.power(t, i) for i in range(N)])
    factorial = np.array([np.math.factorial(i) for i in range(N)])
    factorial = np.array([1] + list(factorial[:-1]))
    binomials = factorial / (np.math.factorial(np.arange(N)) * np.math.factorial(np.arange(N-1, -1, -1)))
    return np.dot(np.transpose(binomials * polynomial_array), points)

这个函数会计算给定控制点生成的一个曲线，其中 $nTimes$ 参数是生成点的数量，并且默认值为 $1000$。此函数还需要一组控制点列表，它们将形成贝塞尔曲线。

示例

接下来，我们将演示如何使用 bezier_curve() 函数来生成曲线。在这个例子中，我们使用了三个控制点：

points = np.array([[0, 1], [1.5, 4], [4, 1]])
curve = bezier_curve(points)

然后，我们可以使用 Matplotlib 的 plot() 函数来绘制曲线：

plt.plot(curve[:,0], curve[:,1], '-r')
plt.plot(points[:,0], points[:,1], 'bo')
plt.show()

这将绘制一个红色的平滑曲线，以及三个蓝点表示的三个控制点。完整的代码如下所示：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def bezier_curve(points, nTimes=1000):
    """
    Given a set of control points, return the
    bezier curve defined by the control points.
    """
    N = len(points)
    t = np.linspace(0, 1, nTimes)
    polynomial_array = np.array([np.power(t, i) for i in range(N)])
    factorial = np.array([np.math.factorial(i) for i in range(N)])
    factorial = np.array([1] + list(factorial[:-1]))
    binomials = factorial / (np.math.factorial(np.arange(N)) * np.math.factorial(np.arange(N-1, -1, -1)))
    return np.dot(np.transpose(binomials * polynomial_array), points)

points = np.array([[0, 1], [1.5, 4], [4, 1]])
curve = bezier_curve(points)

plt.plot(curve[:,0], curve[:,1], '-r')
plt.plot(points[:,0], points[:,1], 'bo')
plt.show()

结论

贝塞尔插值是一个灵活、可扩展的技术，用于计算一组点之间的平滑曲线。Python 的 NumPy 和 Matplotlib 库和一些简单的代码，可以生成高度可定制的贝塞尔曲线。