重复将N除以除数后的最大和

当需要对一个数N进行连续的除法运算时，如何使得除数的总和最大呢？

例如，当N=24，除数为2时，我们可以进行以下的操作：

24 / 2 = 12
12 / 2 = 6
6 / 2  = 3
3 / 2  = 1

这里的除数为2，总共经过了4次除法运算，因此除数的总和为 $2+2+2+2=8$。如果使用除数为3，我们可以得到更小的总和 $3+3+3=9$。

那么，如何求出除数的总和最大的方法呢？

方法

我们可以假设除数为x，那么我们对N进行一次除法，会得到以下的式子：

N/x    = a_1  ... r_1
r_1/x  = a_2  ... r_2
...
r_{k-1}/x = a_k ... r_k

其中，a_1, a_2, ..., a_k 表示整数部分，r_1, r_2, ..., r_k 表示余数部分。因为我们要使得除数的总和最大，所以当 r_1 < x/2 时，我们选择不再继续使用除数x。

现在，我们需要从多个除数中选择一个最优解。由于对于不同的除数，k 的值是不一样的，所以我们无法将问题看作是一个标准的动态规划问题。

我们可以使用二分搜索，对于每一个x，计算它所能得到的最大的除数和，然后根据二分搜索的方式进行查找。

代码

下面是使用Python实现的代码：

def find_max_divisor_sum(N):
    # 枚举除数
    left, right = 2, N
    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        
        # 计算除数mid所能得到的最大的除数和
        sum_divisors = 0
        num = N
        while num > 0:
            sum_divisors += num % mid
            num //= mid
            
            if sum_divisors > N:
                break
        
        if sum_divisors == N:
            return mid
        elif sum_divisors > N:
            right = mid - 1
        else:
            left = mid + 1
    
    return right

该算法的时间复杂度为 $O(\log N \cdot \log N)$，其中第一个 $O(\log N)$ 是因为枚举除数需要进行二分查找，第二个 $O(\log N)$ 是因为计算除数和的过程需要除法操作，而每一次除法操作的时间复杂度也为 $O(\log N)$。