[L, R]范围内的(2 ^ x * 3 ^ y)形式的整数计数

在[L, R]范围内，(2 ^ x * 3 ^ y)形式的整数的数量是一个经典的数学问题。本文将介绍这个问题的解决方法，以及如何用代码实现。

问题分析

我们首先可以将所有形如(2 ^ x * 3 ^ y)的数罗列出来：

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, ...

观察这些数的特点，可以发现：

• 除了1以外，每个数的质因数都只包含2和3。
• 从小到大排列，每个数都可以表示成前面数字乘以2或3得到的结果。

基于这个特点，我们可以得出以下结论：

在[L, R]范围内，(2 ^ x * 3 ^ y)形式的整数的数量，等于小于等于log2(R)的正整数个数，乘以小于等于log3(R)的正整数个数，再减去小于等于log2(L - 1)的正整数个数，乘以小于等于log3(L - 1)的正整数个数。

其中，log2表示以2为底的对数，log3表示以3为底的对数。

为什么是这样呢？因为小于等于log2(R)的正整数中，每个数字可以与小于等于log3(R)的正整数中的任意一个数字组合成某个形如(2 ^ x * 3 ^ y)的整数。而小于等于log2(L - 1)的正整数中，则存在一些数字不能与小于等于log3(L - 1)的正整数中的某个数字组合成某个形如(2 ^ x * 3 ^ y)的整数，因此要减去这部分重复计算的情况。

代码实现

根据上述结论，我们可以用以下代码实现：

import math

def count_2_3_numbers(L, R):
    count2 = math.floor(math.log2(R))
    count3 = math.floor(math.log(R, 3))
    if L > 1:
        count2 -= math.floor(math.log2(L - 1))
        count3 -= math.floor(math.log(L - 1, 3))
    return (count2 + 1) * (count3 + 1)

这里用了Python内置的math库，其中log2可以用log函数和常数2计算得到，而log3只能用log函数和常数3计算得到。

总结

[L, R]范围内的(2 ^ x * 3 ^ y)形式的整数计数是一个非常有趣的问题。通过观察数列特点，我们可以得到解决该问题的结论，并用代码实现。这个问题也可以被推广到其他底数的情况下，或者被扩展到更一般的多个质数相乘的情况下。