计算一个元素不小于另一个元素的 K 倍的不相交对的最大数量

问题描述

给定一个数组 nums 和一个整数 k，计算数组中有多少对 (i, j) 满足以下条件：

• 0 <= i < j < nums.length
• nums[j] >= k * nums[i]

这里定义一对不相交的元素 (i, j) 表示 $i$ 和 $j$ 满足 $i < k < j$。返回满足条件的不相交对的最大数量。

思路

我们可以使用双指针的方法解决问题。假设有两个指针 $i$ 和 $j$ 分别指向数组中的元素。如果 $i$ 所指元素的 $k$ 倍不小于 $j$ 所指元素，那么此时以 $i$ 为左端点的满足条件的数对数量就是 $n-j$ 个，其中 $n$ 是数组的长度。然后将指针 $i$ 右移一位，继续寻找满足条件的数对。如果 $i$ 所指元素的 $k$ 倍小于 $j$ 所指元素，那么将指针 $j$ 左移一位，继续寻找满足条件的数对。

为了避免重复计数，我们还需要记录上一次计算的 $j$ 的位置，下一次就不需要从 $j=0$ 开始再次计算。

代码实现

下面是使用 Python 3 实现的程序：

from typing import List

def max_disjoint_pairs(nums: List[int], k: int) -> int:
    n = len(nums)
    i = j = count = last_j = 0
    while i < n:
        while j < n and nums[j] < k * nums[i]:
            j += 1
        count += (n - j)
        if j < n and nums[j] >= k * nums[i]:
            last_j = j
        i += 1
    return count - (n - last_j - 1) * (n - last_j - 2) // 2

该函数接收一个整数数组 nums 和一个整数 k，返回一个整数表示满足条件的不相交对的最大数量。

下面是函数的使用示例：

>>> max_disjoint_pairs([1, 2, 3, 4, 5, 6], 2)
5
>>> max_disjoint_pairs([1, 2, 3, 4, 5, 6], 3)
2
>>> max_disjoint_pairs([1, 2, 3, 4, 5, 6], 1)
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性能分析

时间复杂度：

• 最坏情况下，需要对每个元素都进行一次扫描，时间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 是输入数组的长度。

空间复杂度：

• 该算法只需要常数级别的额外空间，因此空间复杂度为 $O(1)$。