使一个数组的所有元素乘以另一个数组所需的最小前缀增量

有时候，在算法中，我们需要使一个数组的所有元素乘以另一个数组的前缀和，以计算最后的结果。但是，为了避免浮点数的精度问题，我们常常需要将所有的数都乘以一个常数，以便得到最终答案。在这种情况下，如何计算最小的常数，使得我们得到的答案不会失去精度，是一个非常有趣的问题。

算法思路

我们假设数组 $a$ 的长度为 $n$，数组 $b$ 的长度为 $m$，则最小的常数 $k$ 满足以下条件：

$$ a_1 b_1 \cdot \cdot \cdot a_n b_n \cdot k^m=ans $$

我们可以将式子写成以下形式：

$$ k=\sqrt[m]{\frac{ans}{a_1 b_1 \cdot \cdot \cdot a_n b_n}} $$

但是，这个式子的计算并不是很容易。因此，我们需要使用一个更加简单的算法来计算 $k$。

我们假设数组 $p$ 是数组 $b$ 的前缀积，则

$$ p_i=b_1 \cdot \cdot \cdot b_i $$

我们的目标是将数组 $a$ 的所有元素都乘以一个常数 $k$，使得它们的乘积等于 $p_m$，即

$$ a_1 k \cdot \cdot \cdot a_n k = p_m $$

等式两边同时取对数，得到

$$ log(a_1 k)+log(a_2 k)+\cdot \cdot \cdot +log(a_n k)=log(p_m) $$

移项，得到

$$ log(k)+\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}log(a_i)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{m}log(b_i) $$

设 $s_i=\frac{1}{i} \sum_{j=1}^{i}log(a_j)$ 和 $t_i=\frac{1}{i} \sum_{j=1}^{i}log(b_j)$，则有

$$ log(k)+s_n=t_m $$

因此，

$$ k=e^{t_m-s_n} $$

我们可以使用前缀和来计算 $s$ 和 $t$，从而计算出 $k$。

代码实现

下面是 Python 代码的示例：

def calc_k(a, b):
    n, m = len(a), len(b)
    p = [1] * m
    for i in range(1, m):
        p[i] = p[i-1] * b[i-1]
    s = [0] * (n+1)
    for i in range(1, n+1):
        s[i] = s[i-1] + math.log(a[i-1])
    t = [0] * (m+1)
    for i in range(1, m+1):
        t[i] = t[i-1] + math.log(b[i-1])
    return math.exp(t[m] - s[n])

总结

在进行算法设计时，有时候需要计算数组中所有元素乘以另一个数组的前缀积后的值。为了保持精度，我们需要计算一个最小的常数，使得乘积不损失精度。我们可以使用前缀和和对数来解决这个问题，这是一个非常有趣的算法问题。