构造恰好 K 个子序列的字符串

给定一个字符串，我们需要构造一个新的字符串，使得新字符串恰好包含 K 个与原字符串相同的子序列。在本篇文章中，我们将探讨如何构造这样一个字符串。

子序列

首先，我们需要了解子序列的概念。给定一个字符串 S，S 的子序列是指由 S 中删除任意个字符（包括零个和全部）后得到的字符串。例如，字符串 "abc" 的子序列包括 "", "a", "b", "c", "ab", "ac", "bc", 和 "abc"。

解法

我们可以从子序列的角度出发，构造新的字符串。首先，我们考虑原字符串 S 中某个子序列 X 在新字符串中出现的次数。由于原字符串 S 中 X 的出现次数为 P，因此我们需要在新字符串中恰好出现 P 次 X。

接下来，我们需要确保在新字符串中除了 X 以外的其他子序列都不会影响 X 在新字符串中出现的次数。为了做到这一点，我们可以将所有不以 X 开头的子序列替换为另一个字符，例如 "$"。这样，新字符串中所有以 X 开头的子序列都只会被计数一次，因为在这些子序列之前不会有其他的 "$"。

最后，我们需要为每个不同的子序列分配不同的字符。这可以通过构造一个 Trie 树来实现，其中每个节点代表一个子序列，并且每个子序列的末尾节点都具有一个唯一的字符。我们可以从原字符串的最长子序列开始，从 Trie 树的根节点开始构建字符串。如果某个节点的子节点数为 n，则我们需要选择合适的字符，以确保在子树中不会重复选择。

代码

下面是一个 Python 实现的代码片段，用于构造类似于上述所述的字符串。

def construct_string(s: str, k: int) -> str:

    # 构造 Trie 树
    trie = {}
    for i in range(len(s)):
        node = trie
        for j in range(i, len(s)):
            if s[j] not in node:
                node[s[j]] = {}
            node = node[s[j]]
        node[''] = ''

    # 选择合适的字符，构造字符串
    result = []
    node = trie
    while k > 0:
        for c in sorted(node.keys()):
            if c == '':
                continue
            subtrie = node[c]
            count = sum(1 for _ in subtrie.keys() if _ != '')
            if k > count:
                k -= count
            else:
                result.append(c)
                node = subtrie
                k -= 1
                break

    return ''.join(result)

总结

本文介绍了一种构造恰好包含 K 个给定字符串子序列的方法。我们首先使用 Trie 树构造子序列的集合，然后使用一些简单的规则来选择每个子序列中的字符。这个算法的时间复杂度为 O(n^2)，其中 n 是原字符串的长度。