拼图 |将缺少一块的蛋糕分成两等份

这个题目可以用贪心算法来解决。如果蛋糕被切成了 $n$ 块，那么每一块的面积应该是 $1/n$。但是，由于一块蛋糕丢失了，所以我们只有 $n-1$ 块蛋糕，每一块的面积应该是 $1/(n-1)$。

同时，我们需要找到一条直线来将这一块蛋糕平均分成两份。这条直线可以选择任何一条过原点的直线，因为它们都不会影响蛋糕的面积。我们可以用斜截式表示这条直线，如 $y = ax$，其中 $a$ 是直线的斜率。

因此，我们需要找到一条直线 $y=ax$，使得在 $y=ax$ 直线下方的蛋糕面积等于在 $y=ax$ 直线上方的蛋糕面积。为了方便计算，我们可以将左上角的顶点作为坐标系的原点。这样，我们可以通过求解两个积分来计算在直线上下的面积。具体来说，我们需要找到满足以下条件的 $a$：

$$\int_{0}^{x+1} (x-a x)^2 dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{x} (x-a x)^2 dx + \frac{1}{2} \int_{x}^{1} (x-a x)^2 dx$$

这个方程可以求得 $a$ 的值：

$$a = \frac{2}{3} - 2x$$

这是因为我们需要让左右两边的积分值相等，就像这样：

$$\frac{1}{3} - \frac{2}{3} x^2 + 2 a x^3 - \frac{2}{3} a^2 x^4 = \frac{1}{6} - \frac{1}{6} x^2 + \frac{1}{2} a x^3 - \frac{1}{2} a^2 x^4 + \frac{1}{6} a^3$$

现在我们知道了直线的斜率 $a$，可以将它代入 $y=ax$ 中，将原点恢复到左下角的位置，然后求得切割位置 $y_0$：

$$y_0 = \frac{1-a}{2}$$

下面是一段 Python 代码，可以用于计算 $a$ 和 $y_0$：

def compute_a_x(n):
    return 2/3 - 2/(3*n), 1/n

a, x = compute_a_x(n-1)
y0 = (1-a)/2

注意，我们需要先将 $n-1$ 代入 compute_a_x 函数，因为只有 $n-1$ 块蛋糕。

最后，我们可以用 matplotlib 库来绘制一幅蛋糕图，以验证我们的算法是否正确：

import matplotlib.pyplot as plt

plt.figure(figsize=(5, 5))
x1 = [0, y0, 1]
y1 = [0, x*y0, x]
plt.fill_between(x1, y1, color='pink')
plt.fill_between(x1, [0, 1-x], y1=[0, 1-x], color='yellow')
plt.plot([0, 1], [0, 1], color='black')
plt.plot([0, 1], [1, 0], color='black')
plt.axis('tight')
plt.show()

这样就得到了一张漂亮的蛋糕图。

## 拼图 |将缺少一块的蛋糕分成两等份

这个题目可以用贪心算法来解决。如果蛋糕被切成了 $n$ 块，那么每一块的面积应该是 $1/n$。但是，由于一块蛋糕丢失了，所以我们只有 $n-1$ 块蛋糕，每一块的面积应该是 $1/(n-1)$。

同时，我们需要找到一条直线来将这一块蛋糕平均分成两份。这条直线可以选择任何一条过原点的直线，因为它们都不会影响蛋糕的面积。我们可以用斜截式表示这条直线，如 $y = ax$，其中 $a$ 是直线的斜率。

因此，我们需要找到一条直线 $y=ax$，使得在 $y=ax$ 直线下方的蛋糕面积等于在 $y=ax$ 直线上方的蛋糕面积。为了方便计算，我们可以将左上角的顶点作为坐标系的原点。这样，我们可以通过求解两个积分来计算在直线上下的面积。具体来说，我们需要找到满足以下条件的 $a$：

$$\int_{0}^{x+1} (x-a x)^2 dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{x} (x-a x)^2 dx + \frac{1}{2} \int_{x}^{1} (x-a x)^2 dx$$

这个方程可以求得 $a$ 的值：

$$a = \frac{2}{3} - 2x$$

这是因为我们需要让左右两边的积分值相等，就像这样：

$$\frac{1}{3} - \frac{2}{3} x^2 + 2 a x^3 - \frac{2}{3} a^2 x^4 = \frac{1}{6} - \frac{1}{6} x^2 + \frac{1}{2} a x^3 - \frac{1}{2} a^2 x^4 + \frac{1}{6} a^3$$

现在我们知道了直线的斜率 $a$，可以将它代入 $y=ax$ 中，将原点恢复到左下角的位置，然后求得切割位置 $y_0$：

$$y_0 = \frac{1-a}{2}$$

下面是一段 Python 代码，可以用于计算 $a$ 和 $y_0$：

```python
def compute_a_x(n):
    return 2/3 - 2/(3*n), 1/n

a, x = compute_a_x(n-1)
y0 = (1-a)/2

注意，我们需要先将 $n-1$ 代入 compute_a_x 函数，因为只有 $n-1$ 块蛋糕。

最后，我们可以用 matplotlib 库来绘制一幅蛋糕图，以验证我们的算法是否正确：

import matplotlib.pyplot as plt

plt.figure(figsize=(5, 5))
x1 = [0, y0, 1]
y1 = [0, x*y0, x]
plt.fill_between(x1, y1, color='pink')
plt.fill_between(x1, [0, 1-x], y1=[0, 1-x], color='yellow')
plt.plot([0, 1], [0, 1], color='black')
plt.plot([0, 1], [1, 0], color='black')
plt.axis('tight')
plt.show()

这样就得到了一张漂亮的蛋糕图。