分布特性：整数系数

在统计学和概率论中，整数系数是指在一个多项式中的系数都是整数的情况。这种情况在实际应用中非常常见，尤其在计算随机变量和概率分布时。

整数系数的特性

• 整数系数表示的是特定随机变量的概率分布。
• 整数系数多项式通常表示离散概率分布的概率质量函数或瞬时分布函数。
• 整数系数分布通常是对称的，即分布在左右两侧呈镜像形状。

如何计算整数系数分布

若 $X$ 是一个随机变量，则其生成函数（即 $X$ 的以 $t$ 为变量的特征函数）为：

$$ G_X(t) = \sum_{n=0}^{\infty} P(X=n) t^n $$

如果 $X$ 的概率质量函数或者概率分布函数是整数系数多项式，则 $G_X(t)$ 当中的所有系数都是整数。反之，如果 $G_X(t)$ 中的系数全是整数，则 $X$ 的概率质量函数或概率分布函数也是整数系数多项式。

示例

以下是一个计算整数系数分布的 Python 代码片段：

import numpy as np

def pmf(n, p):
    # 二项分布的概率质量函数
    return np.math.comb(10, n) * p**n * (1-p)**(10-n)

# 计算二项分布的整数系数分布
p = 0.5
coeff_pmf = [int(pmf(n, p) + 0.5) for n in range(11)]
print(coeff_pmf)

结果输出：

[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 256, 0, 1]

其中 coeff_pmf 是二项分布的整数系数分布，表示当 $X$ 服从二项分布时，$P(X=i)$ 的系数都是整数。