格赖巴赫范式介绍

格赖巴赫范式（Greibach Normal Form，简称GNF）是一种上下文无关文法的范式。它的命名来自于它的发明者Sheila Greibach。GNF的特点是右部只允许出现一个非终结符号（变量），同时它的产生式规则也受到了一定的限制。GNF对于上下文无关文法的转换、分析和证明都有着很好的性质。

概述

在计算机科学中，上下文无关文法（CFG）是被广泛使用的一种形式语言的表示方法。它有着广泛的应用，如编译程序设计、自然语言分析等。在CFG的定义中，左部必须为非终结符号，右部将由终结符和非终结符号组成。例如，下面是一个简单的CFG示例：

S -> aSb | λ

在这个例子中，S是一个非终结符号，a和b是终结符号， λ表示空串。S -> aSb 和 S -> λ是两个我们称之为“产生式规则”的定义，代表如果我们有一个S的实例，就可以将它替换成对应右边的语法表达式。

但是我们观察一下这个例子中的产生式，可以发现这个CFG存在一些问题。首先，我们可以发现不是所有的产生式规则右部只有一个非终结符号。其次，我们可以看到在产生式中左部出现在右部的首位，这会导致稍后在文法解析时，一些影响性能的问题。这时候，我们需要一种转换方法来将它转换成一种更易于处理的形式，这就是格赖巴赫范式诞生的原因。

格赖巴赫范式

格赖巴赫范式是一种将CFG转换成某种特定形式的方法，它可以将原始CFG转换为一种非常特殊的形式，从而使得分析和转换操作更加方便。

一个语法被称作格赖巴赫范式当且仅当它的每一个产生式规则都是形如下面这样的格式：

A → aα1 | aα2 | aα3 | ... | aαn

其中，A是一个非终结符号，a是一个终结符号，α1， α2， α3， ...，αn 是一串非终结符号。这个定义的主要特点是右部只允许出现一个非终结符号，而且 A 必须不出现在右部的首位。这样一来，我们就可以让解析文法的效率更高，也能在处理上下文无关文法时避免出现一些操作上的问题。

范式转换

现在我们来看一下，怎样将一个上下文无关文法转换为格赖巴赫范式。

首先，我们需要将每个非终结符号都转换成新的非终结符号。对于每个“老”的非终结符号A，我们都需要为它定义一个新的非终结符号A'。然后，我们将任何一个形如 bα 的右部规则，在转换后的产生式中新建一个非终结符号A'，使它成为它新的产生式规则右部中的首位元素。 例如，假设下面的CFG：

S -> ASA | aB
A -> B | S
B -> b | λ

我们可以通过下面的方法来将其转换为格赖巴赫范式：

1. 给每个非终结符号添加一个新的非终结符号 S', A', B'。

2. 将 S 转换为新的 S'，添加两个新的产生式规则：

   S' -> AS'
   S' -> aB'
   

3. 将 A 转换为新的 A'，添加两个新的产生式规则：

   A' -> BS'
   A' -> AS'
   

4. 将 B 转换为新的 B'，添加两个新的产生式规则：

   B' -> b
   B' -> λ
   

最终，我们得到了转换后的产生式：

S' -> A'S'
S' -> aB'
A' -> BS'
A' -> AS'
B' -> b
B' -> λ

这就是一个格赖巴赫范式的CFG。

总结

格赖巴赫范式是一种上下文无关文法的范式，在CFG的转换和分析中有着广泛的应用。通过使用格赖巴赫范式，我们可以将一个原始的CFG转换为一种特殊的形式，从而使得文法的解析和转换操作更加方便。