形成具有n个不同整数的堆的方法数

问题背景

给定n个不同的数，你需要将它们依次插入一个初始为空的堆中，使得形成的堆具有n个不同的数且为小根堆（即堆中任意节点的值都不大于其子节点的值）。求共有多少种不同的方法。

解法思路

首先，我们可以将问题转化为一个组合问题：从n个数中选出若干数作为堆的节点，并使得这些数构成一个小根堆。

堆的数据结构以及判断小根堆的算法大家应该都已经很清楚了，这里不再赘述。

接下来问题就变成了如何组合这些数。

我们可以递归地构造，枚举当前堆中的根节点，然后将剩余的数分别插入左子树和右子树，递归求解即可。在插入新的节点后，需要重新调整小根堆。

具体来说，设选了k个数作为堆的节点，则满足小根堆性质的堆的数量为：

$$f(n) = \sum_{k=1}^{n} {n \choose k}f(k-1)f(n-k)$$

这个式子的意思是，从n个数中选出k个作为堆的节点，其它的n-k个数分别插入选出的k-1个左子树和n-k个右子树中，再分别递归计算方案数。最后将所有k的情况累加起来即可。

初始条件为f(0) = 1。

代码实现

以下是Python代码的实现：

def count_heap(n):
    """
    计算形成具有n个不同整数的小根堆的方案数
    """
    f = [0] * (n + 1)
    f[0] = 1

    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, i + 1):
            f[i] += math.comb(i, j) * f[j - 1] * f[i - j]

    return f[n]

总结

本篇介绍了如何计算形成具有n个不同整数的小根堆的方案数，这是一个典型的组合问题。我们可以通过递归地构造小根堆，并计算方案数，来求解这个问题。

算法时间复杂度为O(n^3)，因为有两重循环，但实际上常数很小，可以很快地求解大规模数据。