一变量线性不等式的代数解及其图形表示

介绍

本篇文章将介绍一变量线性不等式的代数解及其图形表示，包括如何求解一元一次不等式以及如何绘制不等式的图形。

一元一次不等式

一元一次不等式的一般形式为：

$$ax+b>c \text{ 或 } ax+b<c$$

其中 $a,b,c$ 为实数，$a\neq0$。

要求解这种类型的一元一次不等式，我们可以按照以下步骤进行：

• 将不等式中的项移项，使得不等式的左边为一个一次函数 $y=ax+b$；
• 判断不等式的解集，若是“大于”关系，解集为 $y>c$，若是“小于”关系，解集为 $y<c$。

举个例子，假设我们要求解 $3x+1>4$ 的解集。

首先将常数项 $1$ 移到不等式右侧，得到 $3x>3$。接下来将不等式两边都除以 $3$ 得到 $x>1$，即解集为 $x\in(1,+\infty)$。

图形表示

一元一次不等式的图形表示即为直线上方或下方的解集，取决于不等式的方向。

以前文的例子 $3x+1>4$ 为例，可以将不等式化为 $y=3x+1$，然后画出这条直线：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-2, 2, 100)
y = 3*x + 1

plt.plot(x, y)
plt.show()

如果要表示不等式的解集，则需要对这条直线进行着色。以不等式 $3x+1>4$ 为例，它的解集为 $x\in(1,+\infty)$，对应的图形表示为直线上方的区域：

x = np.linspace(-2, 2, 100)
y = 3*x + 1

plt.fill_between(x, y, 5, where=(y > 5))
plt.plot(x, y)
plt.xlim(-2, 2)
plt.ylim(-2, 8)
plt.show()

如果不等式是小于关系，需要将着色区域改为直线下方的部分。

x = np.linspace(-2, 2, 100)
y = 3*x + 1

plt.fill_between(x, y, -2, where=(y < -2))
plt.plot(x, y)
plt.xlim(-2, 2)
plt.ylim(-2, 8)
plt.show()

结论

一变量线性不等式的代数解及其图形表示可以用上文的方法求解。其中，代数解使用数学公式表示，图形表示使用 Python 中的 Matplotlib 库进行生成。