最小化由唯一元素组成的K个等长子集的不兼容总和

问题描述

给定一个长度为n的数组nums，将其划分为k个等长的子集，找出一种划分方案使得每个子集中的元素各不相同，且所有子集不兼容（即任意两个子集都没有公共元素），求最小化不兼容总和的方案。

解决方案

这个问题可以使用动态规划来解决。假设dp[i][j]表示前i个元素分为j个子集时的最小不兼容总和，那么状态转移方程就是：

dp[i][j] = min(dp[i-k][j-1] + incompatibleSum(nums[i-k+1:i+1]))

其中，incompatibleSum函数表示求一段区间内不兼容的元素对的数量之和。这个函数可以使用两个set来实现，时间复杂度为O(k)。

最终的答案就是dp[n][k]。

代码实现

def min_incompatible_sum(nums, k):
    n = len(nums)
    dp = [[float('inf')] * (k+1) for _ in range(n+1)]
    dp[0][0] = 0

    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, k+1):
            for l in range(i-1, j-2, -1):
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[l][j-1] + incompatibleSum(nums[l:i]))
    
    return dp[n][k]

def incompatibleSum(nums):
    s1 = set()
    s2 = set()
    for num in nums:
        if num in s1:
            s2.add(num)
        else:
            for old_num in s1:
                if abs(num - old_num) <= len(nums):
                    s2.add(num)
                    break
            s1.add(num)
    return len(s2)

nums = [1,2,3,4,5,6,7,8,9]
k = 3
print(min_incompatible_sum(nums, k))  # 6

性能分析

时间复杂度为O(n^3k)，空间复杂度为O(nk)。在实际应用中需要注意计算的复杂度。