题目介绍

这是 Sudo GATE 2020 模拟题中的第 32 题，题目名称为 "门"。该题主要考察了计算机科学中的图论知识，要求我们通过图的遍历算法统计出一张二分图中左边节点与右边节点的连通情况，从而判断是否存在奇环。

题目描述

给定一个无向图，其中一些点被标记为临时 "门"。这些 "门" 可以在任何时候打开或关闭。假设所有的 "门" 初始状态都是关闭的，现在需要判断是否存在一个算法让所有的 "门" 都能打开并且满足下列条件：

1. 在任何时刻，最多只能打开一个 "门"。
2. 每次打开一个 "门" 时，所有与之相邻的未被打开的 "门" 都必须打开。

要求你编写一个算法，能够判断是否存在这样的方案。

思路分析

我们可以把题目中的无向图看成是一个二分图，其中左侧节点表示 "门" 的初始状态为关闭，右侧节点表示 "门" 的初始状态为开启。根据题目要求，每次最多只能打开一个 "门"，也就是说每个节点最多只与一个节点相连。如果两个节点之间有连边，则表示它们之间有一定的关联，即左侧节点对应的 "门" 打开后，右侧节点对应的 "门" 也必须打开。

我们可以通过采用深度优先搜索或广度优先搜索算法，将二分图遍历一遍，统计出所有节点的状态以及它们之间的关联情况。如果最终得到的二分图中存在奇环，则表示所有的 "门" 不可能同时打开，否则可以找到一种方案使得所有的 "门" 都能打开且满足要求。

代码实现

## 算法流程

1. 根据输入数据构建二分图，其中左侧节点表示门的初始状态为关闭，右侧节点表示门的初始状态为开启。
2. 采用深度优先搜索或广度优先搜索算法，遍历整张二分图。
   - 如果搜索过程中节点状态冲突，则表示不能满足所有门都能打开的条件；否则继续搜索直到整张图遍历完毕。
3. 判断二分图是否存在奇环，若存在则返回无法满足所有门都能打开的条件，否则返回存在某种方案能够满足所有门都能打开的条件。

## 代码片段

以下是可以实现上述算法的 Python 代码，其中 `isBipartite()` 函数用于判断输入的无向图是否为二分图，`canAllGatesBeOpened()` 函数则调用 `isBipartite()` 函数和深度优先搜索算法来实现上述算法的核心逻辑。

```python
from typing import List

# 判断无向图是否为二分图
def isBipartite(graph: List[List[int]], node: int, colors: List[int]) -> bool:
    for neighbor in graph[node]:
        if colors[neighbor] == 0:
            colors[neighbor] = -1 * colors[node]
            if isBipartite(graph, neighbor, colors) == False:
                return False
        elif colors[node] + colors[neighbor] != 0:
            return False
    return True

# 判断是否存在一种方案，使得所有门都能打开
def canAllGatesBeOpened(gates: List[int], connections: List[List[int]]) -> bool:
    n = len(gates)
    leftNodes = [i for i in range(n)]
    rightNodes = [i + n for i in range(n)]
    graph = { i:[] for i in range(2 * n) }
    colors = [0] * (2 * n)

    for connection in connections:
        if gates[connection[0]] == 1 and gates[connection[1]] == 0:
            graph[leftNodes[connection[0]]].append(rightNodes[connection[1]])
            graph[rightNodes[connection[1]]].append(leftNodes[connection[0]])
        elif gates[connection[0]] == 0 and gates[connection[1]] == 1:
            graph[leftNodes[connection[1]]].append(rightNodes[connection[0]])
            graph[rightNodes[connection[0]]].append(leftNodes[connection[1]])

    for i in range(2 * n):
        if colors[i] == 0:
            colors[i] = 1
            if isBipartite(graph, i, colors) == False:
                return False

    return True

注意，上述算法中的 isBipartite() 函数实际上是用于判断二分图是否存在奇环的常规做法，这里并没有细讲具体的算法实现细节。另外，上述实现中 graph 变量用于表示输入无向图构成的邻接矩阵（注意这里使用了 Python 中的 Dictionary 类型来实现），而 colors 变量则用于表示每个节点的颜色，1 表示左侧节点，-1 表示右侧节点，0 表示未访问过的节点。