门 | Sudo GATE 2020 Mock I(2019年12月27日)|问题5

这是一道 Sudo GATE 2020 模拟考试的问题，关于「门」的问题。这题主要考察的是程序员的算法思维和代码实现能力。

问题描述

你要在一个长度为 $2^n$ 的布尔数组 A 中，找到一个「最大子方阵 B」，使得 B 中 1 的个数等于 $2^{n-1}$ 。其中 B 是一个 $2^m \times 2^m$ 的子矩阵，且 $m <= \frac{n}{2}$。

示例

输入:

A = [
    [0,1,0,1],
    [0,0,1,1],
    [1,1,0,0],
    [0,0,1,0]
]

输出:

[
    [1,1],
    [0,0]
]

解析

该问题即为在二维布尔数组中寻找最大的由 1 组成的矩阵，使得它的大小为 $2^m \times 2^m$，其中 $m <= \frac{n}{2}$ 且 $2^{n-1}$ 个元素为 1。考虑到对每个矩阵中的元素，只有 1 和 0 两种情况，这启示我们可能可以用动态规划或分治来解决这个问题。

具体实现时，我们可以采用分治策略，将矩阵不断划分成四个等分的子矩阵，然后递归地对每个子矩阵进行判断。如果当前矩阵中的 1 的个数正好等于要求的 $2^{n-1}$ 个元素，那么我们可以返回该矩阵；否则，我们需要继续对子矩阵进行递归。

代码实现如下：

def max_sub_matrix(A):
    n = len(A)
    if n == 1:
        return [[A[0][0]]]
    else:
        B = []
        m = n // 2
        B1 = max_sub_matrix([row[:m] for row in A[:m]])
        B2 = max_sub_matrix([row[m:] for row in A[:m]])
        B3 = max_sub_matrix([row[:m] for row in A[m:]])
        B4 = max_sub_matrix([row[m:] for row in A[m:]])
        B = B1 + B2 + B3 + B4
        if sum(sum(row) for row in B) == 2 ** (n-1):
            return B
        else:
            return []

其中，我们用递归函数 max_sub_matrix 实现了矩阵的分治，对于每个输入的矩阵，max_sub_matrix 函数会返回最大的由 1 组成的矩阵。如果最大的矩阵中的 1 的数量不等于 $2^{n-1}$，那么返回空列表。

总结

这道问题考查了算法思维和代码实现能力。通过分治的方法，我们可以快速地找到最大的由 1 组成的矩阵。对于程序员来说，这种题目可以提高自己的代码实现能力，锻炼自己的算法思维，也可以帮助程序员更好地理解代码背后的算法思路。