设置封面问题 |第 1 组（贪心近似算法）

问题描述

有一堆书需要放在书架上，书的高度不同，但宽度相同。现有一张长为 $W$ 的纸板，要求将纸板切割成若干份，使得每一份恰好能够覆盖一本书的高度，且纸板的总长度最小。请设计一个算法，求出最小的纸板长度。

解法思路

此问题可以使用贪心算法进行求解。因为书的高度不同，故每本书只能使用等高的一部分纸板进行覆盖，因此我们可以将纸板按照每本书的高度进行排序，然后依次将高度最小的书用纸板进行覆盖，直到所有的书都被覆盖完毕。

具体而言，可以按照如下方式进行操作：

1. 将所有的书按照高度从小到大排序；
2. 初始化纸板的总长度 $L=0$，遍历每本书，并依次进行如下操作：
   1. 如果剩余的纸板长度大于等于当前书的高度，则更新纸板长度 $L=L+当前书的高度$，并将该书从列表中删除；
   2. 如果剩余的纸板长度小于当前书的高度，则说明当前纸板不足以覆盖该书，故需要新切一块纸板，并将其长度加入到 $L$ 中；
3. 如果所有的书都被覆盖完毕，则返回 $L$。

算法实现

以下是该算法的Python实现代码：

def find_min_paper_length(book_list, width):
    book_list.sort()
    total_length = 0
    paper_list = []
    while book_list:
        current_book = book_list.pop(0)
        if not paper_list or sum(paper_list[-1]) + current_book <= width:
            paper_list.append([current_book])
        else:
            total_length += sum(paper_list[-1])
            paper_list[-1] = [current_book]
    total_length += sum(paper_list[-1])
    return total_length

该函数的输入参数为书的高度列表 book_list 和纸板的宽度 width，输出结果为最小的纸板长度。其中，将所有的书按照高度从小到大进行排序后，遍历每本书，依次选择可用的纸板进行覆盖。如果当前纸板无法覆盖当前书，则需要新切一块纸板。最后将所有的纸板长度相加，即得到最小的纸板长度。

算法分析

该算法的时间复杂度为 $O(n\log n)$，其中 $n$ 表示书的个数。因为需要将所有的书按照高度排序，而Python内置的排序函数 sort 的时间复杂度为 $O(n\log n)$。此外，算法中还需要遍历每本书，因此最终的时间复杂度为 $O(n\log n)$。

该算法的空间复杂度为 $O(n)$，因为需要维护一个纸板列表。在最坏情况下，纸板列表的长度将等于书的个数，故空间复杂度为 $O(n)$。