门 | GATE CS 1997 | 问题9

这是一道GATE 1997年的计算机科学考题，涉及到编程算法的基本概念和时间复杂度分析。

题目描述

有N扇门依次放置在一条长直通道上，其中第i扇门的长度为Li。一位小偷希望从通道的左侧进入，并从通道的右侧离开。他身上带了一个长度为M的物品，因此只有在遇到长度不小于M的门时，他才能从门下通过。小偷不能搬运门或其他物品，但他可以拖动门，将一扇门从其左侧拖到其右侧（将门从右侧拖到左侧同理）

请编写一个有效的算法，计算小偷离开通道时，最小需要拖动几扇门。

算法思路

暴力求解方法

一个显而易见的暴力求解方法是：从左到右枚举小偷的起始位置，然后枚举他能够到达的所有门，从中选取第一个长度不小于M的门，然后继续重复这个过程，直到到达右侧边界。具体代码实现如下：

def min_doors(n, L, M):
    # initilize answer and position of the thief
    ans = 0
    thief_pos = 0
    
    while thief_pos < n:
        # look for the next door the thief can pass
        next_door = thief_pos
        while next_door < n and L[next_door] < M:
            next_door += 1
        
        # if a suitable door is found, move the thief to the other side
        if next_door < n:
            ans += 1
            thief_pos = n - 1 - next_door
        else:
            return -1  # thief can't exit
            
    return ans

该算法的时间复杂度为O(N^2)，因为在每个起始位置需要扫描所有门，每次找到一个更新最优序列需要线性时间。

线性复杂度的解法

这个问题可以使用非常简单的动态规划算法来解决。使用一个数组dp[]，其中dp[i]表示从小偷到达第i扇门时需要拖动最小数量的门。dp数组的初始化值为无穷大，即dp[i] = INF。同时，将dp[0]初始化为0，因为小偷起始位置为0不需要拖动任何门。

现在考虑dp数组的递推关系。假设我们已经计算了dp[i]，现在需要计算dp[i+1]的值。存在两种情况：

1. 小偷不需要在第i+1扇门处停留。这意味着dp[i+1] = dp[i]
2. 小偷需要在第i+1扇门处停留。这意味着进入这扇门前需要先经过一些门，然后在退出这扇门之后还需要再经过一些门。因此dp[i+1] = dp[j] + 1 + dp[n-i-2]，其中j是小偷从0到i+1依次经过的最后一扇大于M长度的门。

整个算法的伪代码如下：

def min_doors(n, L, M):
    INF = 10**9
    dp = [INF] * (n+1)
    dp[0] = 0
    
    for i in range(n):
        if L[i] >= M:
            # if the thief can pass the i-th door, set dp[i+1] = dp[i]
            dp[i+1] = dp[i]
        else:
            for j in range(i+1):
                # find the last door the thief can pass before i-th door
                if L[j] >= M:
                    dp[i+1] = min(dp[i+1], dp[j] + 1 + dp[n-i-2])
    
    return dp[n] if dp[n] < INF else -1

该算法的时间复杂度为O(N^2)，其中最耗时的循环是找到大于M长度的门的循环，它需要执行N*sqrt(N)次，因此总的时间复杂度为O(N^1.5)。在实际应用中，该算法可以被优化为O(N)的时间复杂度，方法是使用两个辅助数组L2R和R2L，其中L2R[i]表示从第i扇门往右能够到达的最近的大于M长度的门的下标，R2L[i]表示从第i扇门往左能够到达的最近的大于M长度的门的下标。这两个辅助数组可以用O(N)时间预处理，然后在DP的过程中不用再执行N次sqrt(N)的循环来查找大于M长度的门。