比萨切问题（或按线划分圆圈）

比萨切问题是一道经典的计算几何问题，也可以看作是按线划分圆圈的问题。假设有一张比萨，它需要被切成 $n$ 块，并且每一块的面积比例都应该是已知的 $a_1, a_2, ..., a_n$。问题是，如何切比萨才能得到满足要求的块？

解法

解法一：使用三分法

这是最简单有效的方法。由于比萨的面积是常数 $A$，所以我们可以通过调整切割比例来达到要求。因此，我们可以通过三分法来找到最优的切割比例。

具体来说，我们可以假设切割比例为 $r_1, r_2, ..., r_{n-1}$，其中 $0 < r_1 < r_2 < ... < r_{n-1} < 1$，并且 $r_0 = 0, r_n = 1$。然后，我们可以计算每一块的面积，并计算它们与目标面积的误差之和。随着 $r$ 的增加，误差会逐渐减小。因此，我们可以利用三分法来找到最优的 $r$。

代码如下：

def error(r):
    # 计算每一块的面积并计算误差
    area = [r[i] ** 2 * pi - r[i-1] ** 2 * pi for i in range(1, n+1)]
    return sum([(area[i] - A * a[i]) ** 2 for i in range(n)])

l, r = [0] * (n-1), [1] * (n-1)
for i in range(200):
    mid1 = [l[j] + (r[j] - l[j]) / 3 for j in range(n-1)]
    mid2 = [r[j] - (r[j] - l[j]) / 3 for j in range(n-1)]
    if error(mid1) < error(mid2):
        r = mid2
    else:
        l = mid1

解法二：使用动态规划

这个问题也可以使用动态规划来解决。我们可以假设我们已经知道了 $k$ 块比萨的切割方案 $r_1, r_2, ..., r_k$，并且它们的面积比例相对应的目标面积为 $A_1, A_2, ..., A_k$。那么，下一刀应该怎么切呢？

我们可以将比萨的范围分成 $k + 1$ 段，其中第 $i$ 段的长度为 $r_i - r_{i-1}$。然后，我们可以将比萨切成两部分，分别是 $[0, r_i]$ 和 $[r_i, 1]$。我们可以分别计算它们的面积和目标面积的差值，并将这些差值记为 $d_{i,j}$。然后，我们可以使用动态规划来计算出 $k+1$ 块比萨的最优切割方案。

具体地，我们可以定义 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 块比萨中，第 $i$ 块比萨被切割成了 $j$ 段的最小误差。那么，最终的答案应该就是 $f_{n,n}$。

状态转移方程为：

$$ f_{i,j} = \min_{k=1}^{j-1}{f_{i-1,k} + \sum_{p=k+1}^j{d_{i,p}}} $$

初始状态为 $f_{0,0}=0$，其余状态为 $f_{i,j}=\infty$。最终的答案是 $\sqrt{f_{n,n}}$。

代码如下：

# 计算 d 数组
d = [[0] * (n+1) for i in range(n+1)]
for i in range(n+1):
    for j in range(i+1, n+1):
        d[i][j] = (r[j-1] - r[i-1]) ** 2 * pi - (A[j-1] - A[i-1]) ** 2
        for k in range(i+1, j):
            d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j])

# 动态规划求解
f = [[inf] * (n+1) for i in range(n+1)]
f[0][0] = 0
for i in range(1, n+1):
    for j in range(1, i+1):
        for k in range(j):
            f[i][j] = min(f[i][j], f[i-1][k] + d[k][j])
ans = sqrt(f[n][n])

总结

以上是两种不同的解法，它们的时间复杂度都是 $O(n^2)$。三分法的实现比较简单，但是容易出现精度问题。动态规划的实现稍微复杂一些，但是精度控制比较容易。

在解决实际问题时，应该根据具体情况选择合适的算法。综合来看，动态规划可能更适合处理一些大小固定的情况；而三分法则更适合处理连续的问题。