给定 Q 查询的所有 (axb) 子矩阵之间的最大总和

介绍

在这个问题中，我们需要考虑一个矩阵中所有大小为 (axb) 的子矩阵，并计算它们之间的最大总和。在这种情况下，我们需要使用动态规划的技术来创建一个预处理的矩阵，然后我们可以使用它来计算每个查询的答案。

动态规划

为了解决这个问题，我们需要使用动态规划技术。我们可以将矩阵中的每个元素看作是一个节点，它可以是一个子矩阵的左上角，也可以是一个子矩阵的右下角。

在这个问题中，我们需要使用一个预处理的 $(n+1) \times (m+1)$ 的矩阵 $dp$，其中 $n$ 和 $m$ 分别是矩阵的行数和列数。

我们可以使用以下递推关系来生成预处理矩阵：

$$ dp_{i,j} = A_{i,j} + dp_{i-1,j} + dp_{i,j-1} - dp_{i-1,j-1} $$

其中 $A_{i,j}$ 是原始矩阵的元素。

这个递推式可以帮助我们在 $O(n^2)$ 的时间复杂度内生成预处理矩阵。

回答查询

一旦我们生成了预处理矩阵，我们就可以使用它来回答每个查询。对于每个查询，我们只需要使用以下式子计算答案：

$$ ans = dp_{i+a-1,j+b-1} - dp_{i-1,j+b-1} - dp_{i+a-1,j-1} + dp_{i-1,j-1} $$

其中路径从 $(i,j)$ 到 $(i+a-1,j+b-1)$，是一个大小为 $(axb)$ 的子矩阵。

这个式子帮助我们在 $O(1)$ 的时间内回答每个查询。

总结

在这篇文章中，我们介绍了如何解决给定 Q 查询的所有 (axb) 子矩阵之间的最大总和问题。我们使用动态规划技术来创建预处理矩阵，并使用该矩阵来回答每个查询。该算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，并且可以很容易地扩展到更高维度的问题。