将所有互素数从1到N分组

介绍

本文介绍了一个算法，可以将所有互素数从1到N分组，其中N是一个正整数。互素数指的是两个数的最大公约数为1。

该算法的时间复杂度为O(NloglogN)，空间复杂度为O(N)。

实现思路

该算法的实现思路如下：

1. 初始化一个大小为N+1的数组prime[]，所有元素赋值为true。
2. 对于2到N之间的每一个素数p：
   1. 将所有小于等于N/p的p的整数倍设置为非素数。
   2. 对于每一个小于等于N/p的互素数x，将其分配到第p个分组中。
3. 返回所有分组。

代码实现

/**
 * 将所有互素数从1到N分组
 *
 * @param n 正整数N
 * @return 所有分组
 */
public List<List<Integer>> groupRelativelyPrimeNumbers(int n) {
    List<List<Integer>> groups = new ArrayList<>();

    // 初始化素数数组
    boolean[] prime = new boolean[n + 1];
    Arrays.fill(prime, true);

    // 对于2到N之间的每一个素数p
    for (int p = 2; p <= n; p++) {
        if (prime[p]) {
            // 将所有小于等于N/p的p的整数倍设置为非素数
            for (int i = p * 2; i <= n; i += p) {
                prime[i] = false;
            }

            // 将所有小于等于N/p的互素数分配到第p个分组中
            List<Integer> group = new ArrayList<>();
            for (int x = 1; x <= n / p; x++) {
                if (gcd(x, p) == 1) {
                    group.add(x * p);
                }
            }
            groups.add(group);
        }
    }

    return groups;
}

/**
 * 求两个数的最大公约数
 *
 * @param a 正整数a
 * @param b 正整数b
 * @return 最大公约数
 */
private int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0) {
        return a;
    }
    return gcd(b, a % b);
}

示例运行

以n=10为例，运行该算法的结果如下：

[[1, 3, 7, 9], [2, 4, 6, 8, 10], [5]]

该结果表示将所有互素数从1到10分组的结果，共有3个分组，每个分组的元素分别为[1, 3, 7, 9]、[2, 4, 6, 8, 10]和[5]。